lingot , il doit j avoir 7 Âiiog, ou Ailog. d'ar

gent , la seconde équation sera

Sx nr Q« 132

En raisonnant d'une manière analogue , on trouvera pour a.»* équation

Les équations du problème sont donc , en supprimant les déno*

minateurs

'jx + 5jr + HZ = 79 ,

En opérant comme il a été dit (n<" 644 et suiv.) , on tronvera

c'est a-dire qu'il faudra prendre 4 kilogrammes du premier lingot,

9 do second et 3 du troisième^

miLTSB IRlnÉTKRBflNÉI DO 1*' DS6RJ '475

Effeetiveititnfit , le premier lingot contenant 7 kilogrammes d'or

sut 16 y les 4 kilogrammes que Ton prendra sar ce lingot poar

former le 4-"* en contiendront ou . Le second lingot

contenant 5 kilogrammes d or sur 16 , les 9 kilogrammes qu*on oa

retirera contiendront oa - — kilogrammes d'or^ Le 3*"*

lingot contenant a kilogrammes d*or sur 16 , les 3 kilogrammes

ax3 6

qnonen retirera contiendront — ^^^^ ou d*or. La quantité

Gor qui entrera dans le 4."* lingot sera donc Â'iiog. -j- • •

Âiloff, -J ^iloç. ou àiloff ou 4 ^i^og. — — » ainsi que le

comporte Fénoncé de la question.

On peut vérifier de la même manière les quantités d'argent et de

cuivre qui enrrentdans le 4 ™® lingot.

ANALYSB INDÉTBRMINÉB DU 1*' DEGRÉ.

744 . L'analyse indéterminée a généralement pour objet de résoudre, en nombres entiers positifs, un système d'équations è plu* sieurs inconnues, lorsque le nombre des équations est moindre que celui des inconnues. Nous avions d'abord l'intention de ne pas nous occuper de cette théorie dans le cours de cet ouvrage , mais par des raisons qu'il est inutile de déduire ici, nous avons jugé convenable d'exposer seulement les procédés à suivre dans un système dtm équations du i^' degré k{m -|- i) inconnues.

376 AHALTIX miTXSMUItfl M7 i*' BBOltf.

NoasdonneroDS aussi, succiiijCteinenty la résolatloD des équations trinôroes réductibles aa a""^ degré ; ce qui nous conduira naturel-

lement k la rédaction de Texpression \/a^^^/b à la forme

745. Soit l'équation ax -^ hy =zc^ dans laquelle nous supposerons que tf, ft et c sont àt% nombres entiers, positifs ou négatifs, et premiers entr*eui ('') .

Nous supposerons d*abord que les valeurs de :r et de ^ doivent être entières, positives ou négatives» et nons ferons remarquer que cette condition ne saurait être remplie si les coefficients a et b n'étaient pas premiers entr*euz . Car si a et £ ont un seul facteur commun d^ quelles que soient les valeurs entières que l'on substituera dans l'équation en place de x et de^, le premier membre sera divisible par d (n^f IK3 et 154), et le second ne le sera pas, puisque , par supposition , il n'existe aucun facteur commun aux trois nombres /i, bel c.

Nous remarquerons encore que si le coefficient d'une des inconnues était lunité, l'opération serait immédiatement tel*minée. Soit a = I, par exemple; on aura x = c — by^ et attribuant attelle valeur entière que l'on voudrait, on trouverait une valeur entière pour X.

Cela posé, si on résout Féquation ax ^ by =*i c par rapport i l'inconnue y dont nous supposerons que le coefficient b est plus petit que a, on aura

Raprésenlant par q le quotient d« la division de a par i, et par rie reste de cette division, on aura a =?? ^ -^ r,

(*) S'il a'en ét«it pat ainsi, on comneDoerait par dJTiser ces trois nombres par leur pluf ^rand commun dÎTiacur.

A»Ai.T8B UIBÉntlliniÉI MT !«' 9I«li, 377

«t par conséqneot

c — {hq + f)x c — hqx — rx

•Qy en effectuant la division,

c — rx

o Pour que jr sait un nombre entier, en doontnl à jr des valeurs

entières, il faut nécessairement que ^ soit un nombre en«

lier : soit t ce nombre entier \ on aura c — rx

= ^— (Of

et par conséquent y ^^ — qx + t.

c — bt

L'équation (i) donne jr=i -

et si on représente par q^ le quoiîenl de la division de b ^hrr, e par r' le reste de cette division, on aura b =: q^r + r^ valeur qui étant substituée dans celle de x, donnera

OU, en effectuant la division,

x= —qlt-\ .

Ponr que x loit an nombre entier, en donnant à *de« valeurs c-rit

entières, il faut que soit un nombre entier: soit * ce nombre

entier;. on aura

«t par conséquent , x *s^ -^ q't -^ t.

TOMK il. 43

378 ABACTtB IMÉTIBMIBÉI »9 i" MMVÉ.

L'équation (a) donne t = ,

Si r^ ëtait Tunîté, on aurait / = c — rs: substituant cette valeur dans celle de x^ et le résultat de c#m sn^stii^^ion <Uos La va-' leur de ^, on aurait évidenyment x et^ en fonctions de l'indéterminée sel de quantités connues fet H n'y aurait plus qu'à attribuer à s des valeurs entières, positives on négatives.

Or il est clair qu'on parviendra toojonrs â un reste ^gal è l'unité, puisqu'on opère sur les coefficients a elb comme pour trouver lear {)1us grand commun diviseur^ et que, par hypothèse, ces nombres sont premiers entr'eux.

Supposons donc que r^ = i . On %ura alors

f t=3 — nr ^<- c , (3)

jr=^qx'\^ t; (5)

équations au moyen desquelles on se procurera des valeprs de;iret àef en fonction de x.

Pour celç, on remplacera t par sa valeur dan) Véqu^tipo (4)j ce qui donnera x en fonction de x; en rempiaçanï :f; et f par leurs valeurs dans (5), on ^ura^en fonction dex, Donyi^nt à xteUe valeur entière que l'on voudra , il en résultera des valeurs entières pour X et pour y.

Il est aisé de vpir que ce que nous venons de dire ne dépend aucunement du nombre d*indéterminé^9A!;i»iU#irff^imi( l\>A#i;i|p9duit dans le calcul .

746 . La méthode précédente peut être simplifiée en effectuant aussi )a ^Ivisj^on sijir le terme cQpnit qni «s trouva itan les équations successives.

Soit l'équialion Sx- — tijr = nB.

Si on résout cette équation par rapport à l'incoimiKe «^q«î a ht plus petit coefficient, on aurii

* = — = 8 + 3rH — :: — >

OU

t en faisaot =>= s ,

d'où t JBB %s.

Substituant cette valeur dans l'équation (7), on aura

^rrsaj I -{-f=3f — I.

Substituant cette valeur de^ éf celle de / dans IVquation (6)^ il "tiendra

X = 8 4- 3 (V. — 1 ) -f- aj =»= 5 -}- ï "«f *

Afaiii4en«nt , si or donne à s des valeurs entières, |)osi(ivps ou négatives, on anra

Pour * = — 2 , ^ i=t= — t7 , ^ = -^ 7 ,

* = -- I , jr = — 6, j- = — 4 ,

x = +i, ar=34-i«, j-=-f»,

etc. . . etc. etc.

{(.KMÀ^QyB* On voit |Mr ce& lësuluts c|ue si an domae à s des voleurs qui augmemtent suceessiimmené d*UHe unité, tes valeurs de y formeront nue progression arithmétique dont la raison seralgfile au, coefficient de x dfins l*4qua(ion proposée; et que les vifieurs de x formeront une progression arithmétique dont l<s raison sera égala au coefficient de y pris avec im signe- contraire* Nous^ allou& d«inontiçr.cp'il en sera toujours ainsi.

747. D*après ce qui a éié dit au ti^ 74.*$, il est certain que Téquai ion ax '^^ fy =^ c doit admettre une infinité de valeurs entières pour x et ^, si a et i sont des nombres premiers entr*eax , positifs ou négatifs.

Supposons que a soit une valeur de 4ret que$ soit la valeur correspondante de^.

L'équation ax -^ fy f=s c devra être satisfaite par les valeurs :t = a , ^ s= 6, en sorte que Ton aura «a + W =c.

Si on retranche cette égalité de l>quation proposée, on aora tf(;r — a)-+-J(r— Q = o,

a(x — 9) d'où ^ «ù« 6 —

b ' et comme les tal^ors de x et ûejr doivent être entières, il faodra

4z(a — x) ^ ^ ^ a — X ^ que '■ soit un nombre entier, ce qui exige que soit

divisible par b (n** i74), puisque a et b sont premiers entr'eox ; ou

a — X ce qui refient aa même, il faudra que soit un nombre

entier. Donc si on fait — — «= t b

on aura x sa — bf * (8) ,

rt par suite ^ p=: 6 -}- a/ (9).

Donnant à < des valeurs entières, négatives et positives, qui ingmentent successivement d'une unité, on aura

Pour r = — a, x tss: a -{- ^b ^ ^ = 5 — aa, /ea— I, x=ta+ b, jr^=z6'-' a,

r=-|-i, or == a — *, jr=6+ <» , / = -f-i, jrs=»a— ai^, ^ = ^-^a«.

etc. etc. etc.

ANAJLT81 IHBÉTlBIfUlAji B« i*' MMtf. S8I

ce qui démontre le fait énoncé dans la remarque du numéro pré« cèdent.

et — X «— ar

RBXAaQOX. Si as lieu de poter — — œ:^, o«poie— a=s— f,

les formules (8) et (9) dei^iendront

X = et -4« 6/ et^ =3 6 -—a/.

Donnant à / les mêmes valeurs ^ — a, — 1, o, 4~ 't 4" ^ « ^^c. que ci-dessus, on trouvera pourx les valeurs a — ai, a ^— 6, a, a 4- ^, a -f a 6^ etc., et pour ^, les valeurs