f- aa, 6 -f- a, 6, 6 — a, g — aa, etc
d*Ott il résulte que Von peut pi^ndre indifféremment le coefficient de z avec son signe et celui de y avec un signe contraire, ou U coefficient de y avec son signe et celui de z açec un signe con* êsaire,
748. Les formules (8^ et (9) peuvent servir à trouver immédiate /nent toutes les valeurs entières de \ et de y dans Vé^uation ax -f- bj = c, dès qu'on connait un seul système de valeurs.
Supposons, par exemple, que Ton ait reconnu que l'équation Zx — I ij^ = a6 admet le système de valeurs x = 16, jr s=s a. Les formules (8) et (9) deviendront alors
or =c= 16 4" '*'» ^ *= * + 5'f et si on donne à / des valeurs entières, on trouvera
Pour
ar = 17 ,
etc.
etc.
etc.
Pour / = — I, / = — 3^ etc., on retrouverait les systèmes
âeTaheort a«itto5et^==— r, jrt=: — 6 ct^ =^ — 4 , etc., qui ont déjà été obtenus au n® 746.
749:. Si 0m «mif ^e ^ vëUwrs de x et 4e y fut dé^^rtmt satisfaire à l'équation ax *-f- by = c soient des nombres entiers positifs, on opérera comme il a été dit {n^ 745 ou 746)^ ce qui donnera pourx et y des expressions de la forme
x=2a — btcly = ff + at,
puis, on donnera à t toutes les valeurs entières susceptibles de rendre ces expressions entières et positives.
Il convient donc de donnée les moyens de reconnaître entre çtiellei ïimttes devront être comprises les valeurs entières que l'on ponrta attribuer à t.
1^ Considérons d^abord le cas où les coefficients a et 6soBt dt même signe, et , dans ce cas , nous les supposerons positifs , parce que, s'ils ne Fêtaient pas, on pourrait toujours les rendre ttUt ^^ changeant les signes de tous les termes (n^ 882, rem.). Nous supposerons aussi que le second membre c est positif, car s'il était négatif , k problème qui aurait donné lieu à l'équation ne pourrait évidemment avoir aucune solution en nombres entiers positifs.
Les valeuf s générales or ^^ a — irct^ = 6 -f- a' penvent être «èfit^ âtnsi:
On voit donc que .r ne peut être positif si / est plus grand que a 6
— , et que ^ ne peut être positif si *est plus petit que ■ ;
d'où il résulte que pour x, on doit avoir / < , ou / ^ — •
a si - — est un nombre en lier, el, dans ce cas, on aurait :r == oj et,
pour r, on doit avoir t > , ou ^ = , d'où \\ viendrait
jr = o.
Donc, pour que x et y puissent a¥oir des valeurs entières et posi^ tives dans téquation an + by :;;= c, il faut que fOi^tfjS des v^urs entières de t soient cp m prises entie
er —6
f < -— et / > ;
d'où il résolle que s* il n*existe aucun nombre entier entre ces deux limites, le problème qui aura donné lieu à l'équation sera impos* sible,
2^, Supposons maintenant que les coefficients a et 2 spi^t 4^ signes contraires; par exemple, qu'on ait l'équation
ax — hy = c* Pat un raisonq^esK^nt analogue à celui dm n^ 7i7, on trouvera j: =: a -j- 5/ et^ = 6 -f ^'i
ou .=,.C,.=!)et^=«(.,,=?).
On voit donc que pour ^, on devra'avoir r> our= ;
et que, pour y^ il faudra qpe Toi): ait ( > , ou / =
Donc, pour que x %t y puiss^iit aroif des valetir*rtilièfeS«tpo-
sitives, il faut que usurpasse la plus grande des deux limites
' zsi ~' ' "
et , ou que ^ soit égal à cette plus grande limite, si elle est un
nombre entier.
On voit par là que féquatfon ax — • by == c admet toujours tm n^ntbferinfinidê 3ofu:àiQ*!Syfn^»*^"*^^ombfie}s enHerspê-
384 ABALT» IKBttMtMOÉM 90 1*' AMBÉ.
sitifsf et , qu^au contraire , l'équation ax -h by = c n'en peut avoir qu'un nombre limité, et quelques fois pas du tout (*).
Exemple i.
Soit réqaation Sx + ^jr = l^S.
48 — 5x Celle équation donne y =
ou ^ = a4 — * a^ .
Faisant = /, d'où x «= af ,
on aora ^ = 24 — 4« — / = a4 — 5r.
Pour la valeur de a: , on peut prendre pour t tel nombre entier positif que Ton voudra ; mais pour que y soit entier positif , il est
clair que Ton doit avoir 5^ < 24, ou f < ou que 4 •
on aura
Exemple a.
Soit Téquatlon 5j: + 11^ =5 47«
(*) 11 est évident que jr et y ne pourront être des nombres entiers positifs
lorsqu'on devra avoir />>» + — et< n + — ,en supposant que ji,p,
q, r, s soient des nombres entiers positifii| et que ron ait p ^ ^ et r < «•
âllUYMI i|l>«rslllll«J|« 9V 1" 9i«Bîl* 385
47 — iir . a— r
Oo aura . X = = 9 — »/ -| ,
ou * = 9 ~ ar + ^»
en faisant -^-r r- s= / j
d'où j = 2 — 5/ ,
cl p^r jt^ixe or ==? 5 + xi^
^oiir cpiejrel jr a^aoït dei nombres taitiert poshifi, il Ctat Mdemment que les Taleari de t fatUl^ssent aoz conditions soi* tantes:
5 + 11^ > o, ou r > ,
en sorte qu*on ne peot attribuer à t qoe la valeur 2e/o;d'où il résulte qae Téquation proposée ne peut admettre qu'une solution en nombres entiers positifs, savoir s ^ =X5 5, r =^ > •
EXEMPjUÇ 3«
Soit réquation f 7jr — » ts/- c?» S4«.
On auhi y = = jr ~ 49 -| ,
