reste 00 o o o
Après avoir ordonné le polynôme par rapport aui puissances descendantes de a, on extrait la racine carrée du premier terme â\ ce qui -donne «* pour premier terme de la racine.
Le carré de ce premier terme étant retranché du polynôme proposé, on a potir reste — 4û'i ^6a*b^ — 4«i*+4*.
Divisant le premier terme — t^a^b de ce reste par le double aa* du premier terme a* de la racine, il vien4 — 2€ib qui est le second terme de cette racine.
Élevant au carré le binôme €p — 2ad, on trouve le trinôme a^ — [\a^b-\- k^i^b* qui étant retranché du polynôme proposé donne 2«*i' — 4û'i' + i* pour second r«$te.
Divisant le premier ternie ^a^b^ de ce reste par le double 2a' du premier terme a^ de la racine, on trouve b* qui est le troisième terme de celte racine.
Élevant au carré le trinôme a^ — 2flrA + i*,'on a le polynôme fl* — 4"*i + 6û5*i* — l\nP-\-b^^ qui étant retrancfié du proposé donne zéro pour reste; d*où on conclut que ce polynôme est on carré parfait, dont la racine carrée est û' — ^ab^-b^»
44 BAGIIIB8 D£8 POLTIfOHES.
421 . Le procédé de Textraction de la racine carrée d'un polj nôme peut être abrégé, en opérant d'ane manière analogue è celle • qui a été exposée (n® 343). Lorsqu'on aura trouvé -les deux premiers termes de la. racine ^ au lieu d*élever au carré le binprae formé par ces deu> termes et de retrancher ce carré du polynôme proposé, on écrira le second terme trouvé à droite du double du premier j on multiplier, le tout par ce second terme y et on retranchera le produit du premier reste ^ ce qui donnera évidemment le même teste que si on avait retranché du polynôme donné le carré du binôme formé par C ensemble des dewx. premiers termes de la racine* Après avoir trouvé le troisième terme , on l'écrira h côlé du double du binôme formé par l^s deux premiers, on mullipliern le tout par ce troisième terme, on retranchera le produit du second reste, et ainsi de suite, ' '
Soit le polynôme a* — l^a^b-^ 6a^b^ — 4^6' -f^* ^c Texemple précédent.
Opération.
1 " reste — 4û'4 + 6a'i'— 4aiH b* +4a'i-4û^4*
' reste
3"* reste
Racine.
Après avoir trouvé les deux premiers termes û' et — 2ab de la racine , on écrit le second terme •— a<z6 à côté du double aâ^ du premier, on multiplie aa* — ^ab par — aaè, et on retranche le produit -^4a'6 + l^a^b^ du premier reste , ce qui donne la^b^ — ^ab^ + b* pour second reste. Le premier terme %a^b^ de ce reste, divisé
BXTBACnON SB8 KACIIIES PàB APPBOXIlIATlOlf. 45
par le double aa' du premier terme de la racine^ donne b^ pour troisièmp terme que Ton ë(rit à côté du double %a^ — l^ab du bffiôme n^ — labeX on a ainsi le trinô'rae ^a^ — 4^^+ ^'« Multipliant ce trinôme par ^*, et retranchant Je produit aa^^' — 4«6' + 6* du second reste , il yient zéro pour troisième et dernier reste, comme au n« 420.
422. Il peut arriver que le polynôme dont on demande la racine //t'^'"' ne soit pas^une puissance parfaite du degré m. On s'aperçoit que le polynôme proposé est dans ce cas, lorsque, dans le cours de r opération , on parvient' à un reste dont le premier terme ne peut se diviser par m fois la (m — iy*">« puissance du premier terme de la racine.
Pour exprimer la- condition nécessaire pour qne le polynôme proposé devienne la m'^* puissance de la partie de la racine qui vient d*élré trouvée, il suffira d'égaler à zéro le reste dont le pre* mier terme n*a pu se diviser par m fois la (m — i)'^"** puissance du premier terme de la racine.
APPLICATION DB LA FORMULB DU BUNOMB A LA RECHERCHB DBS RAGIBiBS PAR APPROXIMATION.
Avant de traiter <-etle question, nous allons, pour compléter ce qui a été dit (lit^re 7) sur Textraction des racines des nombres, exposer le procédé à ~ suivre pour extraire une racine quelconque d*un nombre entier, et d*abord nous examinerons la composition de la m*^' puissance d*un nombre qui contient des dixainei et des unités.
425. Si on représente par a et 5 les diiainesetles unités d'on nombre entier quelconque, on aura (n^ 409)
45 EXTRACTfOn DIS HAaUBS PAE APPBpXrXATIOll.
m Un — i)
b'^uT
d*oiï Ton voit (\%ie la puissance m^^ d*un nombre composé de éH-^ xaines et d* unités contient deux parties remarquables , indépendaiument de plusieurs autres, dont il est inutile de s'occuper. Ces déui parties sont :
1". La ni^^ yutMance des dixainés ,
2**. m fois le praduit de la (lu — i)"* puissance des dixaines pur les unités,
424. La m*"* puissance d*un nombre d'un seul chiffre ne peut avoir plus de w chiffres, '
Car la m"^* puissance de lo est Tunité suivie de m zéros, qui est le plus petit nombre de {m + i) chiffres.
Cela démontre en même temps que
La m*** puissance d'un nombre de <leux^ chiffres , ou ijiti est composé de dixaines et d'unités, aura toujours plus de m chiffres.
Il est facile de voir que cettà même puissance ne peut pas avoir plus de a m chijfres.
Car la //i'"' puissance de loo est l'unité suivie de vn zéros, qui est Is plus petit de tous les nombres de(a//t+ i) chiffres.
Réciproquement ,.i^ la racine m""* d* un nombre de m chiffres n*cn aura qu*un, car si cette racine pouvait avoir deux chiffres, te nombre proposé en aurait plus de m, ce qui est contre la supposition.
2°. La racine m™* d*un nombre qui contient plus de m chiffres en aura au moins deux ; car si elle pouvait n'en avoir qu'un , le nombre proposé n'en aurait que m tout au plus , ce qui est encore contre la supposition.
Rebiabque. Il suit de là que la partie entière de la racine m"* d^un nombre de m chiffres est un des nombres i , a , 3,. . . .9; en sorte que pour être à knéme d'extraire une racine d'un certain
£XTBACTIOIf DBS RkClJHM PAB APPBOXIMATJOH, 47
d<^r<^, il faut »:onnafiire le» puissances de ce degré de toos les nombrr& entiers depuis j jusqu*à 9.
425. Maintenant soitN un nombre qui contient plus de m chiffres, et moins de 2//? 4- 1 i dont on se propose d'extraire la racine m,'"'.
Le nombre N ayant plus de m chiffre^; $a racine /ra."" en aura plusd*un (n^ 4^4^rérjp, 2.^), ou ce qui revient au même, cette racine contiendra des dixaines et des unités, et par conséquent (n® 423) le nombre N contiendra la ni. "^^ puissance des diraines fie la racine , m fois le produit de la (m — i )."»« puissance des
dixaines par les unités , etc., etc
Mais la /n."" puissance des dixaines ne pouvant contenir d'unités d'un ordr^ inférieur à l'unité suivie de m zéros ( n° 424), les m chiffrés de droite du nombre N ne pourront en faire partie^ c'est pourquoi on les séparera , et on sera certain que la m."*- puissance des dixaines de la racine sera contenue dans la partie à gauche du nombre N.* Extrayant la tacine m."** de la plu» grande at?.*"» puissance parfaite contenue dan» celte partie à gauche, on aura le»di* saines de la racine, i^)
Hetranchant de la partie à gauche du nombre N la m.*^ puissance des dixaines de la racine, et abaissant à côté du reste les m chiffres séparés, on aura tan nombre qui contiendra m foia le produit de la (//s — i)."** puissance des dixaines de la racine par les unités, etc, etc. Mais ce produit ne pouvant contenir des unités d*wn ordre inférieur à l'unité suivie de (m — %) zéros, (puisqu'il contient la {m — i).*"* puissance d'un multiple de 10), les {m — i) chiffres de droite ne pourront en faire partie , c'est pourquoi on les séparera , et on sera certain que la partie à gauche contiendra m fois le produit de la [tn — 1) '"^ puissance des dizaines par les unités. Divisant donc celte partie à gauche par m fois la (m— 1).*^
(*) Pour le démontrer, on fera un raisonnement analogue à ceux des nunéros 343 et 364.
48 ntBACTion des kaciiiks pah APPBoxiKATioir.
puissance des dii aines de la racine, on aura an moins les onitîlf ae cette racine. C) '^I^'^
Pour s'assurer que le quotient trouvé n*est pas plus fort qùe^^ chiffre des unités de la racine , on Técrira à droite de celui des ifl-^ saines, et on élèvera à la //i."*' puissance le nombre formé pil^ Tensemble de ces deux chiffres. Si cette 7/7.*"' puissance peut êtrê^ retranchée du nombre N , le quotient trouvé sera les unités de la' racine cherchée ; dans le cas contraire, on diminuera ce chiffre d*une unité, et on recommencera la vérification précédente. Si la soustraction est encore impossible après cette diminution , on diminuera encore d*une unité le chiffre éprouvé , et ainsi de suite.
Si après la soustracrion il n'y a pas de reste, le nombre N est une puissance parfaite du degré //i, et le nombre tiouvé en est la racine m.*"* exacte; dans le cas contraire, ce nombre est la racine approchée de N> à moins d*une unité.
EXBMPLV.
On demande la racine t^^^ de 456976.
26 racine exacte.
4 fois 2' = 3a
Quotient de 296 par Sa
29* = 707281 , 9 est
trop Jort trop fort
Nombre N 4^6976
Reste,
(*) Pour dérnODtrer que le quotient de cette division peut être plui fort que le cbifire des unités de la racine, on raisonuera comme nous l'avons fait(n-343et364).
BXTJIAOTIOII DBS RACISBS PAR APPROXIMAnOir. 49
4^. Si après avoir séparé les m chiffres de droite du nombre ' proposé , la partie à gauche contient plus de m chiffres , la racine 17?."*' de cette partie contiendra au moins deux chiffres qui pour* ront être considérés , l'un à Tégard de l'autre, comme étant des dixaines et des unités ; en sorte que , par la même raison qui a fait séparer les /n premiers chiffres de droite du nombre N, on sera encore conduit à séparer les m premiers chiffres de droite de la partie à gauche , et ainsi de suite , jusqu'à ce qu'il ne reftte plut qu'un nombre de m chiffres tout au plus.
Extrayant la racine /w.*"* de la plus grande m.^ puissance parfaite contenue dans la tranche à gauche, on aura les unités de Tordre le plus élevé de la racine cherchée. Retranchant de cette tranche la iTi.*"^ puissance du chiffre trouvé, et abaissant à côté du reste les m chiffres suivants du nombre N , on séparera les {rn — i) chiffres de droite, et on divisera la partie à gauche parv/i fois la (m — I )."" puissance du premier chiffre de la racine, ce qui donnera an moins le second chiffre de la racine, que l'on vérifiera comme iJ vient d'être dit ( n*» 428).
Les deux premiers chiffres de gauche de la racine étant trouvés, on les considérera comme ne faisant qu'un seul nombre de àï* xaines , par rapport an troisième chiffre qui est encore inconnu , et on opérera sur ces deux premiers chiffres pour trouver le trol* sîèroe , comme on a opéré sur le premier pour trouver le second , et ainsi de suite.
Passons maintenant au procédé que donne la formule du binôme pour extraire les racines par approximation.
427. D'après ce qui a été dit (n° 376, rem.\ extraire le racine fj^me ^'ane quantité revient à élever cette quantité à la puissance
, et comme un nombre peut toujours se décomposer en deux
parties représentées par a et 6 , la question se réduit à s^voiç
trouver le développement de (a+ 6) *" .
Soit donc proposé d'extraire la racine carrée de la quantité
ToMB IL 7
50 BXTBACTIOIf DES BACIMSS PAl APPHOXIKATKMI.
On a (o*»576, rem.)
Appliquant la méthode du n^ 417, on trouvera
V a « 8 û* 16 û» ia8 a* /
fommle dont on calculera un certain nombre de termes, selon le degré d'approximation qu*on voudra obtenir.
Supposons que Von demande la racine carrée de iok. On partagera ce nombre en deux parties dont l'une soit un carré parfait, et le plus grand possible ; ainsi on partagera 101 en 100 et I. Alors f il s'agira d élever le binôme 100 + i à la puissance
— , et pour cela , il suffira de faire /i = 100, 6 = i, dans la for-
mule précédente, ce qui donnera
1 / , i/ 0,01 (o,oi)« (0,0 )» 5(o,oi)\
(ioo+ij'ou\/ 101 =(ioorl 1+ + L
ou
y 0,1 io(o,oiy* 10(0,01)* 5o(o,ot)*
\/ loi = loj-f z ^■
laa
Supposons maintenant que Ton veuille avoir cette racine a moins de 0,0001 près; il suffira de prendre les 3 premiers termes de la série. Car le 4*°® terme se réduit à 0,000000063$ qui est bien a«idessous de 0,0001, et comme les termes suivants sont enecre beaucoup plus petits, on peut les négliger.
On aura donc
\/ioi =ioH
= io + o,o5 — OjOOoiaS
= 10,0499, en se bornant aux diz- millièmes.
HTBACnOlf BIS RACMBS PAR APPROXIMATION. 51
428. Dans cette série , comme dans tontes celles qo*on formerait de la même manière, le plus grand des deux termes de la quantité proposée doit être considéré comme le premier terme du binôme qu'il s'agit délever à une puissance fractionnaire.
Ainsi, dans \/ «-j-^ ou(/i-j-3) ' , en prenant a pour premier terme, nous avons supposé que a était plus grand que b; si tétait plus grand que et, il faudrait prendre b pour premier terme. La raison en est que, hélant plus grand que a, les termes de la série
■liant en angmen-
a *( i-J . .+etc... )
tant, à partir d*un certain terme, il n*y aurait aucun motif pour s'arrêter à l'un des termes qni suivent celui-là.
Les séries dont les termes vont en augmentant à mesure qu'ils s'éloignent de Torigine se nomment séries divergentes^ et celles dont les termes vont en diminuant s'appellent séries convergentes.
Remarque. Si après la décomposition du nombre proposé en deui parties dont la première est une puissance parfaite du même degré que la racine cherchée, la partie qui doit être le premier terme du binôme se trouvait plus petite que l'autre, on se conduirait comme dans lexemple suivant :
Soit proposé d*extrnire la racine cubique de 12,
D'après ce qui précède, on aurait
V/2T= V/8+T4 =(8+ I /.)•', dont le développement serait nne série divergente.
Mais 22 = 27 -— 5,
donc on aura aussi
V/32 = v/^7— 5 = (27—5) » , qui conduite une série convergente.
ToMB II.
