oomms. sbs misvbbs asc. bu Movy. bt bécip
Multipliant ensuite i^,oi35
par a4,5a6
aoaSo.
4o5oo . . •
^o^So. • ..
on trouvera a4*,83a575o .
Multipliant la fraction par ^o
il viendra i6'^-,65i4o .
Multipliant la fraction par la
on aura 7*^',8i68o ;
en sorte que le nombre 24'*, 626 est égal à 24^16-^8^ , à moins de o^a de denier,
Rbvarqub I . Comme il n*est pas toujours nécessaire d'employer toutes les décimales des produits qu'on est conduit a effectuer dans les opérations de ce genre, on pourra obtenir ces produits par la méthode du n^ 262.
Rbmabqub a. L'égalité 80'- =81* (n<^ 449) donne 1/.= 1*
-|- ûe livre f et 1*= i/» de franc; d'où il résulte un
autre moyen de convertir les litnvs en francs^ et réciproquement.
Pour convertir en francs un nombre de livres, sous et deniers , on
transformera le nombre proposé en un nombre décimal éqmva'
lent[*), et on en retranchera /a 8 1 "• partie
(*) On convertit d'abord les sous et lei denierf en une fraction équivalente de la livre (n*' 4B8), et celle-ci en une fraction décimale (n** 271) que Ton joint aux livres an nombre propoaé.
C^NTEBS. MIS M28LBI8 AM:. BM HOVf . BT HÉQP, 7%
Ti . —6. Pour 'Obtenir cette 8i"^ partie, on prendra d*abord le 9"*^ cl-v nombre décimal trouvé , et on prendra eniuite le 9"* de ce ^"**.
Swi U notnbre a4# 16-'' 8^ de Veœemple 3 du ftf* 45t* a4*i6J*8x-a4*,«333... .
9— partie. 2,7»9t
8i*» partie. o,3o66
a4in6j-8*^ " a4^',5a67 ; «o sorte que 34^16-^8^ valent a4^,53 à moint d'un centime prés, comme au n? 452.
Réciproquement 9 potir convertir un nombre de francs en
livres, sous et deniers* 4m ajoutera à ce nombre la %q^^ partie
de sa valeur: la partie entière de la somme sera le nombre de
livres ^ et pour trouver les sous et les deniers, en opérera
comme dans l'exemple B du n^ 453.
N.-B. Pour trouver la 80"" partie du nombre proposé, on en prendra d*abord le lo"*, pois on prendra le S*** de ce lo"*. Soil If nombre a4^*>5a6 £& l* exemple Z du n^ A^%,
10— partie 2. 4?«ê
8o"* partie o, 3o657
Somme a4^83a57 .
Multipliant la fraction par. ..... ao
on aura 1 6^,65 1 40 ;
Multipliant la fraction par la
il viendra 7*^,81680;
en sorte que le nombre a4/**,5a6 est égal à 34^16-^7^, 81680, ou a) a4#i6^8^, à moins de o,a de denier près, comme au n® 48^.
484. Par ces différents eiemples., on voit qu'il suffira de se rappeller les trois relations
I mètre c= 3'*'0''- 11 ',396 «= qT',5i3974, ToMB IL 10
74 GOMTBM* Nfi MUVmm ARC. BV BOUT. BT BiClV .
I gramme =x i8**,8a7i5 , I fitjum = «43 deniers = i*,oi2S, pour être à même de convenir toutes les mesures anciennes en nouvelles, et réctproqueaient, puisque toutes Its aatret unités da nouveau système sont dcpendaates du mètre.
458. Comme les pesées un peu fortes se fimt maintenant en Mlogrammes^ qui remplacent les anciennes livres (poids) , nous allons donner un eiemple de conversion àe% livres, onces y etc., en ïtilogrammes, et réciproquement.
Soit le nombre 6ff 14^* 7^» qu'on se propose de convertir en kilogrammes.
Puisque le kilogramme Tant looo grammes (n® 448), et que le gramme vaut iS's^T'S»
on aura (n« 2»6) 1**^ = i88a7*-,i5 ;
et comme 6:î? i.4^* 7^" =63864 grains , )a question revient donc à diviser 63864 par 18827, i5,ou 63864o<x par 1882715, ce qui donnera 3**'^-, 39212a.
Réciproquement, pour convertit le nombre 3*'^', 392122 en
livres, onces, etc. , on remarquera que
et que il? = 9216^- ;
donc = ■ ,
ifi>X(i8827,t5)
d'où I *''**• = = 2^,04287652 .
Il ne restera donc pîus qu'à multiplier ce nombre par 3,39a 132'.
Si on emploie le procédé du n° 262, et si on se contente de 7 décimales au produit y on trouvera 6^14^- 6^* 7i^',9898624 ou 6ff i4^* 7*^'» à très-peu de chose près.
TxAoiii Mi MTJtts fTSTÈiistDs lirait Amx. 75
THÉOEIB DES D1V£RS SYSTÈMES DE NUMJ^AUOK.
4SÔ. Nous avons dit (n^ 15) que la base d^un «^slène de n«-
tnération est le nombre qui indique combien on emploie dt chiffres
^ans ce système: celui dans lequel on emplçie </i0iMr cUif^rea, ou
dont la base est a , se nomme système binmre ; cel«ii dont la baac
% est 3 s^appelle système ternaire ^ et ainsi df suite.^
Dans tons les systèmes, on emploie autant de chiffres aignifica*^ tîfs qn*ii y a d'unités moins une dans la base; ainsi, dans le système binaire, il n'y a qu'un seul chiffre sigâificalif , qui est i ; dans le système ternaire, il n'y en a que deux , qui sont i et > , et ainsi d«s autres. Dans chacun de ces systèmes, on emploie l««éro> de^ 'm^roe manière que dans le système/décimal.
Lorsque la base est plus grande que lo , le système cqn>prfD4 plus de neuf chiffres significatif; les /?^/{/' premiers sont c^ux da système décima], et les autre»/ sont ordinairement les, litres grecques a^ C^ y ^ etc. Les chiffres du système duQ^çimai » par exemple, sont /
un, deuâSy trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze, zéro,
457. Dans un système quelconque, on représente donc p|r un seul chiffre tous les nombres plus petits que la base du système ; pour représenter tous les autres nombres, on a établi des conventions analogues à celles du système décimal.
Ainsi , dans le sysléaiie duodéctn»!, par exemple, on représente à l'aide d*an seul chiffre tous les nombres depuis un jusqu'à onze ; on n ainsi les unités simples , mi les nniiés du premier ontre.
Pour aller au-delà , de doute unités simples on fait une nou^
76 THiORU J»BS BIT£R« STSTàltSS HE BIWflATlOlf.
velle onitë qoe Ton nomiue ùniié du second ordre. On con^pte p»r unllés do secoDd ordre comme par unîtes simples , c'est^à -dire» depuis 11/2 jnsqn*à onze; on les représente par }es mêmes ehiftres que les premières , et on les place à leur gauche. Ainsi poor représenter trois unités do premier ordre et cinq du second, on écrit 53» et on dit soixante-trois ; par ce moyen, on peut compter jnsqo*» cent' quarante- trois f que Ton écrit ainsi : ^^.
Pareillement, de douze unités du second ordre on en forme une noBve>le que l'on nomme unité du troisième ordre. On compte ces nouvelles unités comme les précédentes , depuis u/i jusqu'à otz^^ji on les représente par }es mêmes chiffres, et on îes place à la gauche des unités du second ordre. Ainsi poor représenter on nombre qai contiendrait dix unités do premier ordre, point d*unités do second et onze do troisième, on écrirait Cote, et on dirait quinze cent quatre-^ngt- quatorze, (•)
En contînoant ainsi de renfermer la onitéad*un certain ordre dans one seole d*ao ordre immédiatement sopérieur , et en plaçant ces nouvelles onités dans des rangs de plus en plos reculés vers la gaoche, on parvient à représenter toos les nombres entiers imaginables à Taide des douze caractères dont nous avons parlé cidessus.
On voit, par ce qui précède, que dans le système duodécimal , >es valeurs relatives des différents chiffres (n° 13, rem.) sont de douze en douze fois plu» grandes en allant de droite à gauche. Réciproquement, ces valeurs sont de douze en dQuzfi fois plus petites en revenant de la gauche vers la droite.
Rrhabqvk. Il y a dans le système duodécimal, comme dans te système décimal , des fractions ordinaires (n^ 18) , et des fractions duodécimales (n^ ^ }. Tout ce qui a été dit pour les nombres en-
(^ N<Hi» expliqueront bientôt comment on énonce dam le système défMmal un nombre éoi it duns un s^ékèiiie quelconque.
TUtOUîM 9M D1T»S STST&XKg !>■ KtM^àTËmt, 77
tiers, les nombres fractionnaires et iea fraci ions du système décimal sapplique aux uombres entière, aux nombres iractionnaires et aux fractions du système duodécimal , eu substituant la base di^uze ^ la base dix.
458. Ce que nous venons de dire pour le système duodkimal convient également à tous les systèmes.
Ainsi pétant la base d*un système quelconque de numération, ce système comprend (J— i) chiffres significatifs et le «^/to. Le premier chiffre de droite dun nombre écrit dans œ aystème exprime les unités du premier ordre; le second chiffre exprime \^ unités du second ordre, et ainsi de suite. Chaque unité da second ordre vaut h unités du premier; chaque unité du troisième ordre vaut b unités du second ordre ^ ou b^ unités du premier, et ainsi des autres. En général, une unité du ii"* ordre vaut h^'^ unités si»* ])Ies, et on peut aussi , comme on Ta fait dans le système décimal , prolonger à Finfini la suite des unités qui décroissent de 5 en i
en allant de gauche à droite , par le moyen des fractions ,
, etc.
Nous allons maintenant donner les moyens de passer d*un système quelconque de numération à un autre; nous commencerons par cette question :
459. Un nombre étant énoncé dans le langage ordinaire , ou étant écrit clans le système décimal, traduire c# nombre dans le système dont la base est b, et réciproquement.
Pour résoudre la question directe , on divisera le nombre proposé par la base h écrite dans le système décimal f le reste de cette division sera les unités simples du nombre proposé dans le nouveau jystème» On divisera le quotient de la première division par la base b du nouveau système / le reste de eette seconde division exprimera les unités du second ordre du
78 ïlilMlfl »B8 Mmt STSTftMBS PI HimiftATlOir.
nambr€ proposé écrit dans le ntnn^eau système , et ainsi de suite,
Lademière di\nsion terminée, on écrira, en allant de droite à gauche, tous les restes qui auront été trouvés successivement , ainsi que le dernier de tous les quotients, et on aura ainsi le nombre proposé écrit dans le nouveau système.
En effet , lorsque le nombre proposé sera écrit dans le nouveau système, on pourra considérer l'ensemble des chiffres à gauche de celui des unités dn premier ordre comme ne faisant qu'un seul nombre d*unirés du second ordre, ainsi que cela se fait dans le système décimal ; et comme chacune de ces unités vaut b unités simples (n^ 4^9), puisque la base du nouveau système est b, si on représente par jt? le nombre total de ces nnilés du deuxième ordre, ce nombre vaodra bx unités simples. Il résulte de là que si le chiffre des unités simples dans le nouveau système est z, la totalité des unités du nombre proposé écrit dans ce système, devra être représentée par hx-\- t'y et comme ce nombre ne peut manquer de contenir autant d'unités dans un système que dans un aurre, il sera représenté aussi par bx-\' z dans le système décimal. Donc si on le divise par b (n*^ ^^7), on aura pour quotient .r et pour reste z.
Maintenant , chaque unité du troisième ordre du nouveau sys* tème valant b unités du second ordre^ si on divise par b le nombre total X des unités du second ordre du nombre proposé dans le nouveau système^ le quotient x' exprimera la totalité des unités du troisième ordre, et le reste z'sera le chiffre des unités du second p et ainsi de suite.
Exemple r.
On propose d'écrire dans le st/stème quinaire le nombre 453 du système décimal.
Opération.
!•' reste.. 3 a** rctie
3»« reste . .
3 de m quàt.
THËOAU J>SS DIYiUkft §X9tt3tm$ SB aBUAftAtlOII. 79
Ecrivant de droite a {[guche lea re«Us 3,o^ et te damier qnotient 3, an obtient 33o3 pour Texpression du nombre quatre centcinquante- trois dàn$ le systèoie quinaire.
Exemple a.
On propose d'écrire dans le système duodécimai le nombre 4595 du système décimal.
Opération,
