PROPRIÉTÉS DES PROPORTIONS ARITHMÉTIQUES
Toutes ces propriétés reposent sor le principe suivant, que Von nomme, par celte raison, propriété fondamentale des proportions arithmétiques f ou des équi- différences,
474. Dans toute proportion arithmétique, la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens.
Soit la proportion a. bled.
Celte proportion donne (n* 469) a — b = c — d. Ajoutant b t\ d aux deux membres' de cette égalité , ou aura (n** 103,/em.)i
475. Si quatre quantités a, b, c, d ne forment pas une proportion arithmétique, la somme des extrêmes ne sera pas égale à celle des deux autres.
Car puisque le rapport arithmétique de a k b nVst pas égal k celui de c à c?, on a nécessairement a — i> ou <<? — d^ et par conséquent (n** 317)
û— 0+ J+£/> ou <c— É?-|- b+d, ou a+€/> ou <c-|-J.
476. Quand ta somme a 4- d de deux quantité^s a et d est égale à la somme b -|- c c/e deux autres quantités b et c, ces quatre quantités peuvent former une proportion arithmé-tique, dont les deux parties d'une des sommes sont les extrêmes, et dont tes deux parties de t* autre sont les moyens^
Car si ces quantités , écrites comme on rient de le dirt^ ne fôrsuaient pas one proportion arithmétique, on aurait (n® 475}
a-M> ou <J+c, <re qui est contre la supposition.
Bemarque I. II résulte évidemment du principe précédent que ^£ quatre quanti ié^ a, b, c, d sont telles que la somme des deux extrêmes a ^/ d soit égale à la somme b -|- c des deux autres, ces q uatre q uantités formeront la propof tion arithmétique a. bled,
Remabqvs a. Si on augmente ou si on diminue d*une même qutmtité un des extrêmes et un des moyens, il y aura encore pro portion*
Car par cette opération on augmente ou on diminue d'une ssême quantité la somme des extrêmes et celle des moyens, donc puisque ces deux sommes étalent égales avant cette opération (n*^ 474), elles le seront encore après, donc {remarque i) il y aura encore proportion.
477. Si ta somme a -f- d <le deux quantités at et d n'est pas éqaie à la somme h ^c de deux autres , ces quatre quantités ne pourront pas former une proportion arithmétique dont les deux parties d'une des sommes seraient les extrêmes, et dont les deux parties de l'autre somme seraient les moyens»
Car si cette proportion pouvait exister, on anrait (n^ 4T4) a-^-d = 2 4- c , ce qui est contre la supposition.
478. Le quatrième terme d'une proportion arithmétique est égal à la somme des moyens diminuée du premier terme.
Soit la proportion a \ b l c . d •
On a (nM74 ) a + d = b -h c y
et si on reIrancLe a de part et d'autre , on aura
a*|-J — û = A-j-c — a, ou d =s b -^ c '^ a*
92 và&itatrÉfi dis proportions abithméttques.
Beiur^x I . Où dédairait de la même manière
a=ô-|-c — rf, i = a -^ d — CfC=za-^d — 4/ d'où il re'sulte que connaissant trois termes quelconques d'une proportion arithmétique j on peut toujours déterminer la valeur du terme inconnu.
Pour cela, 5e le terme cherché est un des extrêmes^ on ajoute les deux moyens , et de la somme on retranche reoctréme connu.
Si le terme cherché est un des moyens, on ajoute les deux extrêmes i et de la somme on retranche le moyen connu.
Soit proposé de trouver le quatrième terme d'une proportion arithmétique , dont les trois premiers sont 14)^5 et 36.
Opération,
j." moyen a5
Somme 6 1
I •" extrême^ . , .1, 1 4
Extrême demandé, l^^j Proportion i4.25:36.47-
RemiKque a. Si deux proportions arithmétiques ont trois termes de mêmes rangs respectivement égaux , les deux autres termes seront aussi égaux entreux.
Soient les deux proportions
a • b l ç . d ^ (i , b *, c , m • On a d'après ce qui précède
^=5 + ^ — aet^« = ô + c — û, d'où il résulte que d = m,
479. Dans une proportion arithmétique continue ^ ia somme des extrêmes est égale a^ double d^t terfie mojr^n»
mOVÏLJÉTÉS SES PBOPORTIOIfS ARITHMETIQUES. 93
Soit la proportion continue i- a . b . c .
Cette proportion n'est antre chose (n® 471 ) que a . b : b . c ; et dans celle*ci on a ( n° 474 )
a + c=b + b ♦ oa « -}- tf = ai.
Remarque i. L'égalité a -}- c = ab donne b = ;
^'où il résulte que /7oe//> trouver une moyenne arUhmêtique {n^ 471) entre deux quantités^ il- faut ajouter ces deux quantités etprendre la moitié de leur somme .
Soient les deux nombres 54 et 76 entre lesquels on veut avoir une moyenne arithmétique.
Opération,
Somme 139
Moyenne demandée 64 -^ — •
Proportion t 54 . 64 • 75 .
Remarque 3 . L'égalité a -]- c= 2b trouvée cl-dessns donne encore c = 2b — a ;
d*où il re'sulte que pour trouver une troisième proportionnelle arithmétique (n<» 471) à deux quantités données, il faut retrancher la première du double de la seconde,
£Joient les deux nombres 49 et 87.
Opération.
Double de Zj. » » 74
Premier nombre 49
