Dans toute proportion géométrique, le produit des

extrêmes est égal à celui des moyens.

Soit la proportion a : b : : c : d .

Celte proportion donne (n** 469) == . '

Multipliant les deux membres de cette égalité par dx^yOnaura

ûXiX^ cXÔX^

ou ûX^=cxi.

485. Si quatre quantités a, b, c, d ne forment pas une proportion (*), le produit 9i X d des deux extrêmes ne sera pas égal au produit bXc des deux autres.

Car les quantités a, 5, c, d ne forment pas une proportion , on a nécessairement

(*) Comme dans tout ce qui Ta fuivrc , il De lera plus question de la proportion aritlimétique ou de l'équi-difference , nous emploierons simplement la dénomination de proportion. On devra se rappeler qu'il s*agira toujoun de proportions géométriques ou par quotient.

96 PROPRIÉTÉS DBS PROPORTIOHS GÉOMËniQVlS.

Moltipliant les deux membres de cette inégalité par ft X ^9 on aura Cn^ 319)

ou ûX^>ou<cxi*

484. Quand ie produit axd c?e deux quantités a et d est égal au produit hy(,c de deux autres quantités h etc, ces quatre quan^ tités peuvent former une proportion, dont les deux facteurs d'un des produits sont les extrêmes , et dont les facteurs de Vautre pra^ duit sont les moyens.

Car si ces quatre quantités disposées comme on vient de le dire ne formaient pas une proportion, on aurait (n^ 483)

ûX^>ou<iXc, ce qui est contre la supposition.

Remarque i . Il résulte évidemment de ce principe que si quatre . quantités a, b, c, d sont telles que le produit axd des deux extrêmes soit égal au produit bxc des deux autres, ces quatre quan» tités formeront la proportion

Remàhqcs a. Si on multiplie ou si on divise un des extrêmes et un des moyens d'une proportion par une même quantité, il y aura encore proportion.

Car, par cette opération, on multiplie ou on divise par un même nombre le produit des extrêmes et le produit des moyens (n° 44), donc puisque ces produits étaient égaux avant celte opération (n** 482) ils le seront encore après , donc {remarque i ) il y aura encore proportion.

485. Si ie produit a X d Je deux quantités a 6/ d n'est pas éqal au produit h y^ c de deux autres quantités h et c, ces quatre quantités ne pourront paf^ former une proportion^ dont les facteurs d'un des produits seraient les extrêmes , et dont les facteurs de l'autre produit seraient les moyens.

VBOmtlt» DBS PBOPCniTIOltS GÉOlfiîBlQtBS. 97

Car si celte proportion pouvait exister, il en résulterait (n° 482) ^z X '/= 6 X ^t ce qui est contre la supposition.