Changer les extrêmes de place enlreux

3.<^ Mettre les extrêmes en place des moyens et les moyens en place des extrêmes,

j4près ces différentes permutations , il y aura encore proportion»

Soit la proportion a l h :: c l d.

Cette proportion donne (n° 482) a ^ d =: b ^ c, et de cette égalité il vient ( n'^ 484 )

Remarque. L'égalité a y^ d = b y^ c dounc encore les pro^ portions suivantes (n** 484 ) :

c : d :: a \ b ^ c : a :: d l b , d : c :: b : a , b l d II a l c f

d*où l'on voit que Vénalité ai x d = b X c fournit toujours % proportions composées des 4 mêmes termes»

489. Quand deux proportions ont un rapport commun j les deux autres rapports peuvent former une proportion»

100 VÈOnittÉi DZ8 PROPOitTlOAS QÈOHÉTMqUE^

Soient les deoi proportions

Ces proportions donnent (n*** 467 et 469)

tI*où il résulte que

et par consëqueiit

490. Si deux proportions sont telles que tes antécédents de l'une soient respectivement égaux à ceux de Vautre , on peut , avec les conséquents de l'une et de l'autre, former une nouvelle proportion , dont les conséquents de l'une formeront le premier rapport, et dont les conséquents de l'autre formeront le second rapport ; ou bien, dont les conséquents de l'une seront les antécédents, et dont les conséquents de l'autre seront les conséquents.

Cette propriété peut s'énoncer en disant que les coméquents des deux proportions sont directement proportionnels. Soient les proportions

ces proportions donnent ( n** 488 , 1.° )

doù on peut conclure ( n** 489 ) bldiimm ,

ou (n^ 488, i.*») b : m :: d : n.

491. Si deux proportions sont telles que les conséquents de l'une soient respectivement égaux aux conséquents de l'autre,' leurs antécédents seront directement proportionnels.

Ce tbéoréme se démontre corn me le précédent.

PBOPBliTiS DIS PftOPOlTIOIfS fiiOMiTaïQOM. 101

492. Lorsque deux proportions sont telles que les eA^ trémes de l'une soient égaux à ceux de l'autre, on peut, avec les moyens de l'une et de l'autre , former une nouvelle proportion dont les moyens de l'une soient les moyens , et dont les moyens de l'autre soient les extrêmes.

Cette propriété peut encore s'énoncer en disant que les moyens des deux proportions sont réciproquement proportionnels. Soient les proportions

a : J :: c : ff ,

a \ m II n l d^ Ces proportions donnent (n° 482)

d'où il vient b y<^ c = m y< n ^

et par conséquent b l m il n i c,

493, Lorsque deux proportions sont telles que les moyens de l'une soient égaux à ceux de Vautre, leurs extrêmes sont réciproq uement proportionnels.

Ce théorème se démontre comme le précédent.

434. Dans toute proportion on peut faire trois changements par voie d'addition ; on peut dire

1°. La somme des deux premiers termes est à la somme des deux derniers, comme le second est au quatrième.

2®. La somme des deux premiers termes est à la somme des deux derniers, comme le premier est au troisième.

3<*. La somme des antécédents est à la somme des consé^ quenls, comme l'un des antécédents est à son conséquent.

Soit la proportion a l b :: c \ d.

a c \^ Cette proportion donne = .

Ajoutant Tunité de part et d*autre, on aura — - -j- j =s

rt+6 c\-d

ou (n*' 295, récip,) = ,

102 raoniirti bbs pbopobtiors ^OMirBiQVBS.

d'où il vient (n^" 469)

a + b : b :: c + d : d, et par soite (n^ 488, i"".)

a+ b : e + d :: b : d ; proportion qui, comparée à la proposée, donne la première propriété énoncée.

3®. La première a-^- b l bi: c+dld des deux proportions qne nous venons de trouver et la proposée a\b\ic\d donnent (n® 49i)

a + b \ c -{- d y. a l c^ qui, comparée à la proposée, donne la seconde propriété énoncée. 3*. La proportion û : b y. c l <i donne (n** 488, i«.)

et dans celle-ci , on a r i®«) et (a®)

a + c *. b '\' d :i c : d^ et a -{• c i b + d :i a : b\

proportions qui , comparées à la proposée , donnent la troisième propriété énoncée.

495. On peut faire, par voie de soustraction, des changements analogues à ceux dont nous venons de parler. Dans toute propor» Uon, on peut dire

I®. La différence des deux premiers termes est à la différence des deux derniers, comme le second est au quatrième,

a®. La différence des deux premiers termes est à la différence des deux derniers comme le premier est au troisième»

3<>. L a différence des antécédents est à la différence des consé^ quents, comme un des antécédents est à son conséquent»

I®. La proportions \ b y. c i adonne a c

Retranchant Tuuité de part et d'autre , on aura a c

If T

nopiiÉttê BI8 noffoinaat eAoMiniQVBt. 103

a — ù c— rf

et par conséquent

d*où il vient a — b \ b II c — d ', d^

cl par suite û — i:c — d :i b l d;

.proportion qui , comparée à la proposée, donne la première propriété énoncée.

a*. La proportion a — i : b :: C'-^ d : d etla proposée donpeiit (n« 491)

a — i:c — éf::a:<:, ce qui démontre la seconde propriété énoncée. 3®. La proportion alb II cld donne

et dans celle-ci, on a (i<».) et U^.)

et rt — c : ^ — d :: a l b,

ce qui démontre la troisième propriété énoncée.

496» Le principe du n* 494 n*cst qu un cas particulier d*na principe général , qui s'énonce ainsi :

Dans toute proportion, la somme du premier terme et d'un nombre quelconque m de fois le second est à la somme du troisième terme et du même nombre m de fois le quatrième, comme le second est au quatrième^ ou comme le premier est au troisième»

La somme du premier antécédent et d'un nombre quelconque m de fois le second est à la somme du premier con^ séquent et du même nombre m de fois le second, comme un antécédent quelconque est à son conséquent.

Il en est de même pour le principe du n® ^95.

Nous allons démontrer la première j>arlîe du premier principe seulement, et nous en déduirons le cas particulier correspondant du n*> 494.

La proportion a l b II c l é/ donne H c

104 raoTBiirig bm raormnoiis oiexiTBiQVBS.

Ajontant m de part et d autre, on aura

a-^-mb C'\'md

et par suite = >

qui donne a + /w6 : 6 :: c + md : c/,

d*où a + /Tîô : c + ''^^ :: ft : <3^;

proportion qui, comparée à la proposée, donne la première partie de renoncé du premier théorème général»

Maintenant , si dans la proportion

a ^ mb : c + md :: b : d on suppose /w = i, cette proportion deviendra

comme il a été trouvé (n** 494, i*.).

497. Dans toute proportion , êa somme des deux premiers termes est à leur différence comme la somme des deux derniers est à leur différence.

La proportion a : b :: c : d àonne (n° 494, i°.) et {n? 495, i«.)

et a — b : c — d :: b : d;

d'où il vient (n<» 489)

a -\' b : c + d :: a — & : c — d, cl par suite (n® 488, i®.)

498. Dans toute proportion, la somme des antécédents esta leur différence, comme la somme des conséquents est à leur dijfé^ rence.

La propotlion a :b\: c\ adonne (n° 494, 3**.) et (n° 49S, 3*.)

et a — c : b — d :i a : b^

IfOPBltfTiS BBS »<»QiTi<ms gAokAtiiquis. 105

d'où il vient (n° 489)

a'{'C li'\-d : : a — c : b — d , «t par suite o-f^ra — cwb-^dib — d.

499. Dans toute suite de rapports égaux, ta somme d'un nombre quelconque d'antécédents est à la somme des conséquents correspondants, comme un antécédent quelconque est à son conséquent.

Soit la suite de rapports égaux

Les deux premiers rapports de cette suite forment la proportion aiblldd, qui donne (n** 494, 3<>.) a+c:b-\-d::c:d.

Mais le rapport de c à ^Z étant égal à celui de e ày, ce dernier sera aussi égal au rapport de a + c à i + </, ou ce qui revient au même, on aura la proportion

qui donnera (n« 494 , 3.0) a+c+e:b^d+/::e:/.

SI dans cette proportion on remplace le rapport de e ày" par celui de ^à A qui lui est égal , on aura

qui dop nera a+c-(-^+^ : b'\-d-+-/~\-à II g: h ,

on ::a:b ,

ou * ^ . . llcld ,

puisque tous les rapports de la suite proposée sont supposés égaux entr'eux ; et ainsi de suite.

Remarque. Il suit de là que , dans toute suite de rapports égaux , la somme d'un nombre quelconque d'antécédents est à la somme des conséquents correspondants, comme la somme de tout autre nombre d'antécédents est à ta somme des conséquents correspondants.