Lajormule S = parait être en défaut lorsque tous

les termes de la progression sont égaux ^ oo ce qui revient au même,

quand lu raison est l'unité.

Soit , par exemple, la progression

dont on demande la somme des lo premiers termes.

On a dans ce cas ^ = i, i^ =■ âT ; et par conséquent, on anra (n*» 823)

uq — a La formule S = ■ ■» donne donc ici une quantité de la

o forme — — , c'est-à-dire (n*302, 7®.) une quantité indéterminée, et

qui y par conséquent, peut être considérera comme exprimant tel

xiombre que l'on voudra; car Tégalité = aest vraie. puisqu'elle

donne o = aXo =o ; de même, légalité . = aa est aussi vraie,

puisqu'elle donne o=2ûXo==o, et ainsi de suite. On sait bien cependant que la somme des lo premiers termes de la pro^^ression proposée est loa, et que, en général, la somme âen fermes est/7â.

uq — a Pourquoi donc la formule S = -» ne conduit-elle pas au ré*

sultat que Ton doit obtenir ?

noTViiéris SBS pboobbssioiis GiOM^raïQUES. 131

T^our répondre à cette question, il suffit de se rappeler ce qui a

^lé dit (n« 302, 7°., rem.).

uq — a Pour reconnaître si te& deux termes de la fraction ont

«a facteur commun qu'on puisse faire disparaître avant d*introâoire les hypothèses k = a et ^ = i, qui réduisent cet deux termes

il zéro, il n'y a qu'à remplacer u par sa valeur atf"^ ( n^ 5 19, et

on aura alors

Or ^ — I est eiactement divisible par q-^i (^^WT), et donne

pour quotient q"""^ ^ q^^^'+- > . . . •+ 3' + '» donc si dans la for-

iDule (i), on remplace par celte valeur, on aura

formule nécessairement composée de n termes , et qui , dans le cas particulier où ^ = i,. se réduit à

S=^aCi+i+.....-f I ; 1), puisque toute puissance de Tunité^est i; d*où il vient enfin S = na,

qui est ici la vraie valeur de .

Maintenant, si on fait /i:=: lo,

on aura $ = ioaj

pour la somme des lo premiers termes de la progression

523. Dans la progression décroissante, la raison étant une frac' tien, le terme du rang n quiCn*^ 518) est toujours exprimé par U acrmç'*''', diminue à mesure que it augmente, La valetir de ce terme

192 PJiOPilÉTÉS DES ^aOGaBSSfOHS GÉOMÉTRIQUES.

approche donc de plus en plus d'e zéfOflet on éonçoît àisémeot que l'on peut attribuer à n une valeur tellement grande que le terme XJ z=^a(f^ différera de zéro d'une quantité aussi petite que Ion voudra, sans que ce ternie puisse jamais devenir exaittemeot égal à zéro. Donc zéro est la limite du tenue U= o^~^^ ce que Ton peut exprimer ainsi :

Um. tJ = o.

uq — a

Maintenant , la valeur de S qui exprime la sonune d'un

nombre quelconque n de termes, approchera de plus en plus

— a de ■ , à mesure que le nombre n des termes dont on demanq—i

dera la somme deviendra grand. Car u = aq^^^ (n^ ^^^)« et q est

une fraction ; donc u sera d'autant plus petit que n sera grande et

par conséquent uq diminuera constamment , ou il s'approchera

continuellement de zéro, sans jamais pouvoir y arriver, puisque u

uqne peut être nul. La quantité S = ne sera donc jamais

—a • ^ uq — a

égale à , donc est la limite de » ou de S; a»

— rt sorte que l'on a Um» S » — ,

ou(n» 135, i.«>) lim.S^ .

Telle est la formule au moyen de laquelle on peut déterminer la somme de tous les termes d'une progression géométrique décroissante a l'infini.

£XEMPI.E I .

On demande la somme de tous les termes de la progression i 1

Où a ici a = I , ^ = j

on aura donc

lim, S = — == -— - = a.

Par ce résaltat, on voit que plus on prendra de termes dans la

progression ^ i : : : , plus la somme que Ton ob-

a 4 tiendra approchera du nombre 2 , sans pouvoir jamais lui être égale.

La somme des termes ne pourra être considérée comme égale

à a qu'autant que Ton prendra pour dernier terme , ou ,

a«> QO

OQ 9éfv ( n^ 502 , 4.° ) $ terme auquel on nd peut jamais arriver ,

mais vers lequel on tend continuellement.

Exemple a.

On demande la somme de tous les termes de la progression II II

On a dans ce cas , a s= i , ly = — -^p- j

on aura donc

Um. S =

526. Si entre le premier et le second terme d'une pro^ pression géométrique on insère un nombre quelconque m de moyens géométriques f pareil nombre entre le second terme eà le troisième , pareil nombre entre le troisième et le qua^

t3i WkOHiliTÉM VMS PB0ÛfiB88I<»8 «ÉOltilTfilQGBS.

irième^ et ainsi de suites toutes les progressions partielles que l*on formera ainsi pourront être réunies en une seule et même progression.

Soit la progression ii al b : c là : e. . , , dont la raison est q.

Représentant par q' la raison de la progression partielle qui aura pour premier terme a et pour dernier terme 5, on aura (n»Ô20)

=îZ±=xy7:

et si on représenté ^diVq" la raison de la progression partielle qui aura pour premier terme b et pour dernier terme c , on aura

Donc 'q' = q^K

Mais la seconde progression partielle a pour premier terme \e dernier terme h de la première , donc on pourra les réunir , ou en former une seule progression ayant pour premier terme a et pour dernier terme c. On démontrerait de la même manière que Ton peut réunir celle-ci à la troisième progression partielle, qui a pour premier terme c et pour dernier terme d\ «t ainsi de suite.

527. Si quatre termes d'une progression géométrique forment une proportion géométrique, la différence des rangs des deux premiers de ces quatre termes sera égale à la différence des rangs des deux derniers, et réciproquement.

Soient les quatre termes cT, h, g^l, tels que Ton ait ^ : >i : : ^ : /. Soit m la différence des rangs de <f et de ^^ , et soit m' la différence des rangs de g et de /.

On aura (n** 519, rem.')

h = d(f^ et / = g(p' ,

h l d'où il Tiendra = g« et = o*»*.

momtrÈs dm i iowhii ô w i 6ioifim(^t% 135

Mab (n* 469) = -— ,

poisqne, par bypolhèse, on a cT : h\\ç \ l^

donc aussi — = .

et par conseqoent <f^ - q*^' .

d*où il résulte nécessairement que m - m'.

Réciproquement , si la différence des rangs de deux ternies 4juelconques d'une progression géométrique est égale à la dif" férence des rangs de deux autres termes, ces quatre termes fifrmeront une proportion géométrique*

Soient det h deux termes dont la différence des rangs est m , et soient ^ et / deux antres termes dont la différence des rangs est a ussi m.

On aura h = dq"^ et / = gq'^ ,

d*où il viendra - — = tf ei — — = q'^ ,

h l cl par conséquent — - t= ;

donc h \ d \\ l \ g,

ou(nM88,3«.) . d \ h \\ g \ l.

528. Si on fait correspondre terme à terme une progression géométrique et une progression arithmétique, toutes deux croissantes ou toutes deux déc^roissantes , et si on prend dans la première quatre termes qui forment une proportion géométrique, les quatre termes correspondants de la seconde formeront une proportion arithmétique.

Soient les deux progressions

^ af ,V .cf .df .e' Jf . gf.h'.i'.kfj'. m' .. . . .; toit q la raison de la piemière) et r celle de la seconde.

Siona dlfrll^H^

on aora if.g^ : y ,V ,

En effet, puisque d\g\ \h\l^ la différence des rangs de </el de ^ sera égale à la différence des rangs de ^ et de / (n° S37). Mais les termes </^ ^, h! et V correspondant aux termes d^ g, he\ l^ la dif-< férence des rangs de d' et de g' sera égale a la différence des rangs de h' et de /'; donc (n*^ Ki7, r^c//?.) les 4 termes c/^^', À', /^ formeront la proportion arithmétique