Le produit d'un nombre qMetconque de termes de
TOMIII. l9
138 IMARITBltBS.
ia progression i/éoméirtque a pour logarithme la somme des logarithmes de tous ses facteurs.
Prenons d*abord deui termes quelconques de la progression g^éo> métrique, q^ et ^', par exemple ; prenons ensuite le terme ^*, fei que la différence des rangs entre q^ et q^ soit égale à la différence des rangs entre q^ et le premier terme i .
Nous aurons (n® 827, récip)
t : q^ :: î* : q^, d*où il viendra (n** 486)
Si nous prenons les 4 termes de la progression arithmétique qui correspondent aux termes de la proportion i l q^ :: q^ l q^, ce» quatre termes formeront (n*' 528) la proportion arithmétique
o. 3r : 5r. 8r, ou o. log. (•) q^ : log. q^. log. <7^
d'où il viendra (n* 4T8)
log. q^ = log. q^ + log. q\ ou log. {q^ X q^) = log. q^ -j- ^^S- Q^'
En raisonnant sur le produit q^ X q^ ou q^ et sur tout autre terme de la progression géométrique , sur q* par exemple, on démontrerait comme ci-dessus que
log, ^*» ou log, {q^ X q"") = log. q^ + log. q\ ou ce qui revient au même, que
iog. (ç» X ^* X 7*) = log, q^ + log. ^* + log. q\ et ainsi de suite*
531. La propriété que nous venons de démontrer oppar-tient aussi à tous les nombres plus grands que Cunité, qui ne font point partie de la progression fondamentale
fT* • q • q • q • q ••••••
Supposons qu'entre i et^ on ait inséré m moyens géométriques,
(*) AbrévÎAtiou du mol logarithmeé
LQO ARITIIMM. fS9
pareil Bombre entre q et ^, pareil nombre entre q^ el g', et ainsi
cle suite; tous ces moyens liés entr*cui par les nombres q%q*^ ^%
«te. , formeront une seule et méaï% progression géométrique
( n® S26) commençant par Tunité. Concevons pareillement qu*on
ait inséré 771 moyens arithmétiques entre o et r^ pareil nombre
cMitre ret 2r, enire a/* et 3r, et ainsi de suite; tous ces moyens liés
entr'eui par les nombres r, ar, 3r, etc., formeront une seule et
«néme progression arithmétique (n^ 516} commençant par zéro,
«t du même nombre de termes que la progression géométrique.
<I^liacun des moyens arithmétiques sera donc le logarithme du
moyen géométrique correspondant (n* K29).
Cela posé, on pourra toujours concevoir le nombre m asse^ ^rand pour que la différence entre deux moyens géométriques consécutifs soit ausst petite que Ton voudra ; d*«it il résulte que tous les nombres plus grands que l'unité pourront être considéré» «omme étant d«s termes d'une progression géométrique commen- ^nt par Tunité, et leurs logarithmes comme les termes correspon- •dants d'une progression arithmétique commençant par xéro. Donc, dans tout système de logarithmes , on a généralement
log.(axbxc X ) = log.a + log. b + log. c+. • . ,• . ,
« » b , c , étant des nombres plus grands que Vanité.
532. Le logarithme du quotient de la division de deupc nombres plus grands que l'unilé est égal au logarillinie du dividende moins le logarithme du diviseur*
Soit a le dividende, b le diviseur, et q le quotient.
Ona(n°62) a = & X <7r
et par conséquent ( n^ 531 ) , log. a « log. b 4~ I^g- 9 * d*où il vient , en retranchant log. i de part et d'autre, log. a — log. b = log. q.
533. Le logarithme de la m."** puissance dun nombre a plus grand que l'unité est égal au produit du logarithme ds €0 nombre par le degré m de celte puissance.
On* (n« 4i) a*^ - flX/ïXflX -*....•
140 BOGABlTSUBt.
on aura donc log. a^ = log. (aX<»X«X ).
et par consëqaent (n* Î53i ) ,
log. â"* = log. a -(- log. a + log. a \ = m log. «.
534. Le logarithme de ta racine m.'^ (Tun nombre a plus grand que C unité est égal au quotient de la divisi.on du logarithme de ce nombre par l'indice m de ta racine.
Ona(n'>42) (y/^) =«,
et par conséquent ( n° 41 ) ,
X/a X Va X V/« X =«;
donc (n«> 531 )
log. V/« + log. x/ot -h log. V/a + = log. a y
ou m log. y/ a = log. a ,
doù il vient, en divisant de part et d*auire par m ,
log. a
« log* V « =
555. Si dans la formule ' u = o^**" ^ du n^ 519 , on applique les principes des n^* 551 et 555 , on aura
log. u = log. « + (h — 1 ) log. q ; d*où il-viendra successivement
log. u — log. û = (« — I ) log. ^,
log. u — log a
log.^
log. u — • log. a
et [- 1 ==: /j ;
log./7 formule par laquelle on peut déterminer le nombre des termes d*une progression géométrique dont on connaît le premier terme a, le dernier u et la raison q {ÙO 519 , 4.*)i
COnSTfiCCTIOR OBS TABLES DB LOGARITAMBS. 141
C0NSTE13ÉTI0N DBS TABLES DB LOGARITHMES.
536. On appelle tables de lo^arithmei un tableau de deux colonnes, dont l'une contient les nombres i, 2, 3, 4, 5, ,et dont
l'autre contient les logarithmes de ces nombres. Celte table, quoi' que ne contenant que les logarithmes des nombres entiers, peut néanmoins suffire pour tons \ti calculs , parce que, en définitive, les opérations à faire sur des nombres quelconques se réduisent toujours à des opérations sur des nombres entiers.
A la rigueur, il ne serait pas impossibje de construire une table de logarithmes dans un système quelconque, en insérant entre les termes consécutifs des deux progressions de ce systèiuf les moyens géométriques et les moyens arithmétiques dont il a été parlé (n*^ 531). Maison conçoit aisément que cette méthode est impraticable par sa longueur ; aussi pour calculer les logarithmes dans un système quelconque, on emploie d'autres procédés qui , quoique fort laborieux , le sont infiniment moins que celui-là.
537. La base du système de logarithmes dont ou fait usage dans les calculs numériques est 10 , et le logarithme de cette base est i (n° 529); en sorte que les deux progressions du système sont
H I : 10 : 100 : looo : xôooo : . . .,
Les logarithmes de ce système se nomment logarithmes vulgaires, ou logarithmes de 6riggs.
Il résulte évidemment du choix des deux progressions ci-dessus, que le logarithme vulgaire d'une puissance entière quelconque de 10 est composé doutait d unités qu^il y en a dans le degré de cette puissance.
141 coofinrcnoii »È» tiblbs bi LOGAiimif.
538. f^ logarîihme de i étant zéro, et celoi de lo étant i ^ fo o t nombre compris entre i et lo aora pour logarithme un nowi^brc compris entre zéro et i; en ftorte qoe ce logarithme sera nne fr^c^ lion. II est tout aussi facile de voir que tout nombre compris er» tre lo et loo aura pour logarithme an nombre compris entre i ec a ; que tout nombre compris entre loo et looo aura pour logarithme un nombre compris entre a et 3, et ainsi de suite.
D'après cela, le logariihme vulgaire d'un nombre qu^Iconque plus grand que l'unité se compose d'un entier et dun^ fraction quon évolue en décimales. La partie entière d'un £»garithme est toujours connue i elle esc composée d'autant d'unités qu'il y a de chiffres moins un dans le nombre pro^ posé, s'il est entier, ou dans la partie mitière de ce nombre s'ii est fractionnaire,
La partie entière d*an logarithme se nommé la cametéristîque de ce logarithme; on l^appelle ainsi , parce quelle fait connaître immédiatement entre quels ordres d^unités se trouve compris le nombre auquel appartient ce logarithme. D'après cela , on reconfiait que le nombre qui a 0,267431 pour logarithme est eompria entre 1 et 10; que le nombre qui a pour logarithme 1,37637a est compris entre 10 et 100, et ainsi de suite.
539. Ne pouvant encore donner d*autreidée dn calcul des logarithmes des nombres qui ne font point partie de la progression
ff I : 10 : 100 : que ce qui a déjà été dit (n** 55 i) sur le
même sujet, nous nous dispenserons de répéter ici le raisonnement que nous avons fait alors. Nous renverrons donc à ce raisonne* ment, dans lequel il suffira de remplacer 9,^', q\.* . . . par les
nombres 10, 100, 1009, , et r, 27-, 3r, par les nombres
540. Le logarithme vulgaire d'un nombre, plus grand que f unité, est égal au degré de la puissance à laquelle il faudrait /lever la base 10 du système pour reproduire le nombre proposé.
CORSTItUCTfON DBS TASLBS HE L06ABITHMB8. 143
Représentons par m le nombre de moyens géométriques qu'il faudrait insérer ènjre i et lo, enire lo et loo, etc. (n® 539) pour qu'un do ces moyens ne différât pas sensiblement du nombre préposé. La raison de la progression formée gar la réunion de toutes
les progressions partielles sera V^^^ (n** 5520), ou lo *"+* (n® 376;^
rcm)\ et la raison de la progression arithmétique formée par tons
les moyens arithmétiques insérés entre o et i, entre i et 21, etc.,
liés entr*eux par les nombres x , a, 3, , si-ra (n® S13),
puisque le nombre des moyens arithmétiques de chaque progression partielle doit aussi être m, ^
Le premier des moyens géométriques insérés entre i et to sera
donc 10*^* (n® 5^8, îem^ a), et le moyen arithmétique corres-
pondant sera (n® 510, rem. a). Le second moyen géomé-
trique sera lo*"-*"* X 10*"+* ,* ou 10*"+* ( n" 120), et le moyen
arithmétique correspondant sera — — ;- -f- — — , ou ■ ,
w-|-i' inr\-\ /w+i
et ainsi de suite.
Pareillement, le premier àt% moyens géométriques insérés entre
10 et 100 sera 10 X 10'"+' ou 10 '"+^ ; et le moyen arithmé-
Inique correspondant sera i +^> . Le second des moyens géo-
métriques &era 10 *"+* X 10*"+* ou 10 "*+* , et le moyen
I I arithmétique correspondant sera i -f- "^ 1 i — °" '
, et ainsi de suite.
On aura donc les deux progressions
« iiio^^^* : 10*"+* :„. : lo*: i© ^'"+* : lo '*''"+* : ...no':
144 consiBrcTiOH ses tai^uss »* lû«arit«i«s.
d'où Von voit que cbaqae terme de la progression arithmétique est le degré roéme de la puissance do nombre lo qui lui correspond dans la progression géométrique.
. N.B. Le terme zéroâe la progression arithmétique est aussi le degré de la puissance à laquelle il faudrait élever la base la da système pour trouver le premier terme i de la progression géor métrique.
Car on a (n*» 135, I^) io«= i.
541» On peut employçr le procédé «pilant poiu» calculer les logarithmes.
Supposons que Ton veuille calculer le logarithme de n. On insérera unmojen géométrique entre letio (n« 4«87, rem. i\ et un moyen arithmétique entre o et i (n° 479, rem. i ); le moyen géométrique sera évidemment plus grand que a. Qn insérera ua moyen géométrique entre i et le premier moyen géométrique , et un moyen arithmétique entre o et le premier moyen a^ithmé' tique ; le second moyen géométrique sera plus petit que a* On insérera encore un moyen géométrique entre les deux premiers jnoyens géométriques^ et un moyen arithmétique entre les dewe premiers moyens arithmétique*; le troisième moyen géométrique sera plm grand que a.
En continuant ainsi d'insérer desn^ojenâ, on parviendra évi^ demment à deux moyens géométriques, l 'un plus petit que a, lautre plus grand, et dont la différence sera tellement petite qu'on ppurf^ la considérer comme nulle. Ces deux nioyens différeront encore moins du nombre n qu'ils ne différeront entf'euz, les moycnt arithmétiques correspondants auront nécessairement plusieurs chiffrer décimaux communs, et ^i on prend la partie commune CL ces deux moyens ^ on aura le logarithme de- 2, à moins d'une unité décimale de tordre du dernier chiffre décimal commun aux deux derniers moyens arithmétiques calculés.
Xal>lesiu d«fcalciik relalib à la reeberehe du logarithme de f aree S
décimales.
N*»* 1 Opér. i efffcc.
des II ponr trouver
btnoysBsl les Moyen» gêom.
K/»xi
y/ i*'raoy a"*
y/^mox8-
v/8-»«Aio«
ao
Opér. à effectari
poar l'outer les moyeos arith.
o V I •' innv.
i*'moy.-f2«
^■i. 3bi«
me ' f:iB«
Moyen* gcoin* en
gme t ^me
^in« I 5^me
me^j^me
V/ia»«xi3-"
V/ia-^VU""*
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j^me iQxt
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a»«Xi7
Y/^i7"»«Xi8"
k/i8"*Xi9"*
|^me-î^lgm«
3,i6aa8o i,778a8o 3,371370 a,o535ao 1,910960 1,980960 2,016910 1,998810 a,oo78Go 2,oo335o a,ooiioo
«»9999^o 2,ooo54o
a,oooa6o a,oooiao 2,oooo5o 2,000010
»»999995 a^oooooS a,oooooo
Moyrni «lith*
en
ôccHStle*
o,aS
o,3ia5
o,a8ia5
0,0013694 o,3oioa53 0,3011473 o,3o 10863 o,3oio558 o,3oio4o5 o,3oio3a9 0,3010391 o,3oio3io o,3oio3oo
146 CORSTfirCTiOR DXS TABLES BX LOGARlTHHBt.
On voie, par ce tableaa que le logarîtbme de % est o,3oio3 , à moins du 0,00001 près.
Le procédé que nous Tenons d'employer pour parvenir au logarithme de 2 suppose que chacun des moyens arithmétiques est le logariilime du moyen géométrique correspondant ; c'est ce qa'il est aisé de vérifier.
Si dans chacune des opérations indiquées dans le tableau cidessus on remplace U signe radical par lexposant fractionnaire
— — , ce qui est permis ( n* 576, rem ), on aura
i.«» moy. géom. = y/ *Xio « V^'*^ =• »o* >
