moy. arith. = ' = =r
3."° moy. géom. ^ K 10^X10"* « j/io **=... 10*^, 3.""* moy arith.
•laoy. géom. = j/ 10 "*Xio»" = K 10 » =. . . .10^ , 4."® moy. arith.
et ainsi de suke.
On voit, par ce nouveau tableau, que chacun des njoj^Qs arith-
COnSTBVCTION DBS TABLES Bl LOOABITOXBS. 147
xn^miqnes da tableaa précédent est égal aa degré de la puissance à ^•<liiellc il faudrait élever la base lO du système pour obtenir le moyen géométrique correspondant ; donc (n® 840) chaque moyen srithmétique est le logarithme do moyen géométrique corresix>iidant.
On pourra donc calculer les logarithmes de tous les nombres premiers par le procédé que nous venons d*indiquer, et pour avoir les logarithmes des nombres multiples , on fera usage des propriétés énoncées ( n"" 531 et 533).
542. Connaissant te logarithme d*un nombre dans un système quelconque ^ pour 4}bt€nir le logarithme du même nombre dans tout auére système, il suffit 4e diviser le logarithme donné par le logarithme de la base dp nouveau système^ pris dans le premier f ou ce qui revient aU même , il suffit de multiplier le logarithme donné par le ijfuo tient de l* unité divisée par le logarithme de la base du' nouveau- système pris dans ^ancien.
Soit N un nombre dont on connaît le logarithme dans un certain système. Soit i la base d*un nouveau système dans lequel on veut avoir Iç logarUlunç de N»
Si on désigne par L.N le logarithme deN dans le système dont la base est J, on aura (n^ 540) J^^ = N, d'où il viendra (n° 535) L.N log. b= log. N ; et divisant les deux membres de celle égalité par log. i, on aura
log. N I
^log.NX
log. b
Ainsi , connaissant le logarithme de a, par eiemple^dan^ le système vulgaire , pour tirouver le logarithme du même nombre dans le système dont la base serait 5, on multipliera o,3oio3o, qui
est le logarithme de * dans le système vulgaire , par - , ou
log. 5
pjif ^ et on trouvera 0,4^0676.
148 cossnvcium dis tablb» hm tosA^ummBS^
On voit, par ce qal précède, q^il exisie i/i» rappaitt e&miamt entre tous les logarithmes d'un certain système et les logariiàmeê des mêmes nombres dans tout autre sysième ;^ ce rapport est,
comme on vient de le voir • ■■ , et se nomme le module do log, i
nouveau système par rapport a l^ancien.
543. Dans le système vulgaire , les logarithmes des nombres décuples les uns des autres ne différent que par la caractéristique* On a (n* 531) log.(âXio) =&log. «-+- log. 10 =ilog«(a-+- i),
log. (ax lox *o} =3 log. a + log. lo -f~ ^®g» ^^ == ^^* (^ "H ^) »
elc* ; et en général , on a ( n*** 531 et 533 )
log. («Xio'") = Jog. a + log. lo** » log. a+ ni log. lo
= log, « -|- 771 .
Il résulte de là que , connaissant le logarithme vulgaire d'un nombre quelconque ^ pour obtenir celui d'un nombre lo, loo, looo^ Jois plus grand, il suffit d'augmenter la caractéristique de ce logarithme de i ,^, 3, unités.
Au contraire , connaissant le logarithme d'un nombre , pour obtenir celui d'un nombre lo , loo , iooo> .... - fois plus petit, il svjfit de diminuer la caractéristique de ce logarithme de i,^, 3 , imites^
Car on a (n*» 532)
a log. a log. a — log. lo = log. â — I,
lO
log. ■ ou log. =B log. a, — log. lo".
loxio lo'
== log. a, — a log.ioss log. a — a, etc.; et , en général ,
a ' log-, » log, û — log. lo*":- lpg.a^i7ilog.to»loff. a — m.
lO**
. DJ8V06ITI01I »E LA lABftB 9B8 LMARITMIIBS ▼U&OAIRM. 149
BeeiproqiMmentt e^nnnissnni k nombre auquel appartient «*n logarithme, pour obtenir le nombre correspondant à tout rmuire logarithme qui ne différera du premier que par la carac^ £éris tique, il suffira de multiplier ou de diserte nombre connu
pffir 10 , 100 , looo , selon que la caractéristique du nou-
'9jeau logarithme aura i , a , 3, unités de plus ou de moins
4jue celle du logarilhme donné.
544. La table qne ]*on trouve à la fin du traité de navigation contient les logarithmes des nombres entiers, depuis i jusqu'à loooo. Les nombres sont écrits dans des colonnes verticales intitulées N , et les logarithmes dans d'autres colonnes verticales à droite des premières. Les caractéristiques des logarithmes ne sont point écrites, parce que^ d après ce qui a été dit (n*' 538) la caractéristique du logarithme d*un nombre donné est toujours connue. A partir du nombre looi , on trouve, entre chaque colonne de logarithmes et la colonne suivante de nombres, uue nouvelle colonne inliiulce/7ûr^/ex proporiionnellesy par le moyen de laquelle on peut obtenir promplement les logarithmes des nombre» depuis loooi jusqu'à looooo.
545. A Faide de cette table, on tronvt immédiatement les logarithmes des nombres entiers depuis i jusqu'à 9999, et réciproquement.
1.** Étant donné un nombre entier au-dessous de ioooo« pour trou{^er son logarithme , on cherchera ce nombre dans les colonnes N > et on trouvera à côté la partie décimale de son logarithme ; joignant à cette partie décimale une earac^ téristique doutant d'unités qu'il y a de chiffres moins un dans le nombre proposé^ on aura le UnjimlhmB demamdé*
Exemple.
On demande le logarithme de 4B63.
A côté du nombre 4863 .on trouve 686904 dans la colonne loga» rithme. Joignant à cette fraction décimale la caraetéristiq«e 3 ,
190 rSAGBS DIS LOGABITAMES.
parce que le nombre 4B63 est composé de 4 chiffres, on a 3,686904 pour le logarithme demandé.
2.<» Étant donné un logarithme dont la caractéristique est moindre que 4 unités , pour trouver le nombre correspondant , on cherchera la partie décimale du logarithme donné dans les colonnes de logarithmes dont les nombres ont autant de chiffres plus un qu'il y a d'unités dans la caractérisa tique de ce logarithme ; le nombre que l'on trouvera, à coté dans la colonne N qui précède sera le nombre demandé.
Exemple.
On demande le nombre auquel appattient le logarithme
Cherchant la partie décimale 6898611 dans les colonnes de logarithmes des nombres de 3 chiffres, on trouve dans la colonne N qui précède , 776 qui est le nombre demandé.
N.B. Ce que nous venons de dire (2.®) suppose que la partie décimale du logarithme donné se trouve dans la table , ce qui n arrive pas toujours. On verra bientôt comment on doit opérer dans ce cas.
