Tome II. ao
i96 aoBB. n loq* qui im 9m noo? ba fas bahi lis ïAïutk Dlmtnt la secoadt ^lîté par la preaièrit,
on aura = ,
ou (D* 133, 4* ) I H = lo^.
Or plut N sera grand » plus la fraction sera petite, et , ptr
conséquent , pins le premier membre de cette égalité approchera
de Vanité. Mais D est le logarithme de i + ( n* 640 ) , donc
plos le nombre N sera grand« plus la différence D entre le logarithme de N et celui de N -]- 1 approchera du logarithme de.ranité, c*est-à*dire, de zéro.
Remarqub. Si N était infini , on aurait = o (n"* 302,4^),
et par conséquent i -) se réduirait a i, et on aurait alors
d'où il résulterait que D serait la logarithme de Tnnité, c*est-à- -dire, aéro.
553. Les différences des logarithmes d'une table apj^rochent d'autant plus d'être propertiennelies aux différences des nombres correspondants que ces nombres sont plus grands
Soient N et N +i deux nombres consécutifs de la table; soient / et / + D les logarithmes de ces deux nombres. Soit N -f ~- an nombre compris entre N et N +i , et soit / -j- <f n
son logarithme.
La proportion qu*il s^agit de démontrer est donc
noMB, BT LOO. qm JUM n XBOVTBHT pas DAIVS us TAUBi. Id7
proportion qui ne sera jâmaU rigo^reaiement ?raie, mais qoi ap« procbcra d'autant plos de Tétre qoje le nombre N sera |âus grand.
En effet, pins N sera grand, plus la quantité D sera petite (n^ (^59), et il en sera de même de la quantité dqui est nécessairement plus petite que D.
Cela posé, les deux proportions
N + I : N :: /+ D : / et n+~:n::/+^:/,
cfoi ne sont jamais rigoureusement vraies, approcheront daulaqt plus de rétre que N sera plus grand.
Mais la première donne (n^ 495, i^.)*
n+i-^n:/+d-./::n:/, ou I : D ::n:/,
et la seconde donne
n donc, à cause du rapport commun, on aura
n qui approchera .d*aiitant plus d'être vraie que N sera plus grand.
5S4. Problème 1^'. Trouver le logarithme d^tm nombre entier compris entre looooe/ looooo.
On séparera un chiffre sur la droite du nombre donné, on cherchera la partie à gauche dans les eolonnes N de la table , et on prendra, dans la colonne des logarithmes qui se trouve à droite, le nombre écrit sur la même ligne. On prendra ensuite, dans la co* lonne correspondante des pardes proportionnelles, la première^ 09 la seconde, ou la troisième, etc., des quantités qui se trouvent audessous de Tespace blanc, selon que le chiffre séparé sur la droite
du nombre proposé sera i, 2, 3, On ajoutera cette quantité
AUX derniers chiffres du nombre pris dans la colonne des loga-
ftfS MM» IT LOe. QOI Vl n TBOITVBirr PAS 1>A1I8 UB TikBLIS.
rilhmts, et on aara ainsi h. partie décimale da logarithme cherché. Joignant k cette partie décimale line caraotéristiqae de 4 noités, on aora le logarithme demandé.
Exemple.
On demande le logarithme de 48267.
Séparant le chiffre 7, la partie à gauche sera 48a^. Cherchant ce nombre dans la table , on trouvera que la partie décimale du logarithme correspondant est 0,68^67 . Ajoutant à cette fraction le septième nombre 63 de la colonne àt% parties proportionnelles qoi est à droite (*) , parce que le chiffre séparé sur la droite du nombre donné est 7^ on aura o,68365o pour la partie décimale dm logarithme cherché. Enfin , le nombre proposé étant composé de 5 chiffres, la caractéristique de son logarithme devra être de 4 nnités (n^ 838) , donc ce logarithme sera 4)6836 5o.
Il nous reste à expliquer pourquoi it faut ajouter la septième partie proportionnelle 63 à la partie décimale du logarithme de 48a6, pour obtenir celle du logarithme de 48267.
D'abord, il faut se rappeller une fois pour toutes que, d'après ce qui a été dit (n^ 858) , la recherche d un logarithme se réduit è celle de sa partie décimale^ d'après cela, dans les explications relatives aux usages des tablcS| nous appellerons par fois logarithme d'un nombre la partie décimale de ce logarithme, pour simplifier le discours.
Cela posé, ayant séparé le chiffre 7 sur la droite du nombre 48267, on a eu 4826,7, nombre qui est compris entre 4826 et 4827; donc le logarithme de 4826,7 doit être compria entre ceux de 4826 et de 4827, logarithmes qni diffèrent entr'enx de 0,000090; et par conséquent il sera égal au logarithme de 4826 , plus une fraction décimale de l'ordre des iodogoo*"^.
(^) Les nombres de cette colonne expriment des décimales du même ordre que celles qui sont dans les colonues des logarithmes j aiuM le nombre 63 dont il s'agit est 0,000063.
non. IT U». QVl RB SB TBOUTBBT BAS BARS LB8 TABUSi» i89
Poor câlcnler <ett« fraction » il faut (n^ 555} faijre la propOr-* tionf).
I : 0,000090 : : 0,7 : un 4"* tcrnie,qai sera la différence entra te logarithme de /1826 et celui de 48a6,7«
Ajoutant o,oooo63 qui est le 4*°* terme de cette proportion à la partie décimale 0,688587 du logarithme de 4826 , on trouverait o,68365o , et joignant 4 unités de caractéristique , on aurait 4.683650.
Mais Tes parties proportionnelles ont été placées dans la table pour éviter le calcul du 4"* terme de la proportion ci-dessus ; on a calculé les produits'de la différence de deux logarithmes consécutifs par 0,1, par 0,3, par o,3, etc., et on les a mis par ordre dans une colonne à côté de celles des logarithmes. Ces parties proportionnelles sont en regard des nombres de 4 chiffres qui ont tous le même nombre de dixaines. Vis-à-vis de celui de ces nombres qui est terminé par i, on a placé H partie proportionnelle pour 0)1 ; vis-à-vis du nombre qui est terminé par 2, on a placé la partie proportionnelle pour o,a , et ainsi de suite. £n regard de celui de ces nombres qui est terminé par un zéro , on a laissé un espace blanc» parce que si le chiffre séparé sur la droire du nombre proposé était un zéro, la partie proportionnelle serait évidemment nulle.
Ainsi, dans notre exemple , le chiffre séparé sur la droite du nombre 48267 étant 7, on a dû prendre la 7™® des parties proportionnelles placées en regard des nombres contenant 482 dixaines.
555. Problème 2^ Etant donné un nombre entier accom^ pagnéde décimales, tel que le nombre fotal des chiffres n'ex,^ cède pas 5 ; trouver son logarithme.
On iera aj^straction de la virgule» et quand on aura trouvé , en
(*) La différence entre les deux nombres consécutifs 4826 et 4827 est à la ^ifCéreuce entre leurs logarithmes > comme la diffe'rence 0,7 entre 4826 et 4826,7 est à U différence entre leurs logariihmes.
ISO KMO. BT LOe. ^I fft SB TBOVTBHT »A8 HAM IBS TABtBI.
opérant comme il vient d'être dit, la partie décimale da logarithme cherché, on y joindra nne caractéristique d*aatant d*unités qu*il y avait de chiffres moins an dans la partie entière da nombre donné.
Exemple i.
On demande le logarithme de 36,47*
Cherchant 364? dans les colonnes N, on troayera k c6téo,56i936 qoi sera la partie décimale du logarithme cherché, puisque cette partie décimale doit être la même que celle du logarithme de 3647 (n^ S43); et, comme la partie entière du nombre 36,47 est composée de deux chiffres, la caractéristique de son logarithme devra être i. Le logarithme demandé sera donc i,56i936.
Exemple a.
On demande le logarithme de 678,94*
Cherchant dans les colonnes N le nombre 6789, on trouvera à côté o,83i8o6; ajoutant la quatrième partie proportionnelle 0,000026 f^), parce que le cinquième chiffre du nombre proposé est 4, on aura o,83i83a pour la partie décimale du logarithme cherché. Enfin la partie entière du nombre 678,94 étant composée de trois chiffres, la caractéristique de son logarithme devra être % ; donc ce logarithme sera 2,83 1 83a .
Le procédé que Ton vient de suivre est encore fondé sur le principe du n® 843 ; il résulte évidemment de ce principe que les logarithmes des nombres 67894 et 678,94 ont la même partie décimale.
586. Problème 3 . Trouver le logarithme d^un nombre entier composé de plus de 5 chiffres.
On séparera sur la droite dn nombre proposé asses de chiffres
{*) On devra se rappeler une fois pour toutes que les nombres qui sont dans les colonnes des parties proportion uellet etprimentdes miflioniêmes»
IfOMB. £T LOC^ Qm RB SB TROWERT »A8 DANS LB6 TAULKS. 161
|>oi:Br que la par fie à gauche poisse se trouver parmi les nombres
cle 4 chiffres de la table. On prendra la différence entre le loga*
xitlime de la partie à gauche et le logarithme suivant , puis on fera
-ce Lie proportion: Vunlté est à la différence trouvée , comme la
j>€zrtie séparée à droite du nombre donné ^ considérée comme
^/rtaction décimale y est à un quatrième terme » Ajouta ut ce quatrième
terme à la partie décimale du logarithme du nombre à gauche , on
aura la partie décimale da logarithme cherché \ joignante cette
fraction une caractéristique convenable , on aura le logarithme
cLemandé.
On dememde le logarithme de 867379*
Séparant deni chiffres sur la droite de ce nombre, on anra 8673979. Cherchant la partie à gauche 8678 dans la table, on troBveni à côté 0,938169, et prenant la différence entre celte fraction décimale et la suivante 0,938219, on trouvera o^ooooSo.
Cherchant le 4."* terme de la proporlioa
