Tome H

166 tfQUlTfOMfl.

Trouver un nombre entier positif tel que si à son double on €QOute 5 unités, la somme soit 17*

En représentant ce nombre par ^,800 double serait 24? ; ajoutant 5 unités a ce double, on aurait %x -{- 5, et comne cettesomme doit égaler 17, on aurait alors

ax + 5 = 17, pour la traduction algébrique du problème proposé.

Cette égalité n*est pas, comme la précédente, une égalité réellement existante, indépendamment de toute condition particulière, ou d'une manière absolue ; elle ne peut exister qu'à la condition que jc aura une certaine valeur, qui, mise en sa place, et soumise aux opérations indiquées, rendra le premier membre égal au se« cond. Cette condition est de rigueur, car si on demandait, par exeinple, que le double du nombre entier positif cherché ajouté à 5 unités donnât pour somme 5, on demanderait une chose évidem* ment impossible, et par conséquent Tégalité 3;r ^ 3 == 5 ne saurait exister, dans Thypothèse que x est un nombre entier positif.

La nouvelle sorte dVgalité que nous venons de considérer est ce qu'on appelle une équation.

Ainsi, une équation est, à bien dire, une égalité à satisfaire.

Une équation est identique, lorsque ses deux membres sont exprimés de la même manière ; dans ce cas, on la nomme aussi une identité ; ainsi

3a? — 7 = 3;r — 7 est une identité, ou une équation identiejue*

580. Une équation qui contient un nombre quelconque d'inconnues est dite du premier degré^ lorsque toutes les inconnues sont au premier degré, ou ne sont pas multipliées entr elles. Ainsi Zx — a = 4 est une équation du premier degré à une seule inconnue; 5j: +3^ = 14 — a: est une équation du premier degré à deux inconnues.

Une équation est dite du second degté lorsqu'elle contient la seconde pvîssance de l'une des inconnues oii de plusieurs, dans des termes différents , ou que deux des inconnues sont multipliées

ÉQVlTlOVfS. t87

entr*el]es : ainsi x* = a5, ax -}- 3^ = .rj — i, .r* + 2^j +7* =? 64 sont des équations du second degré.

En général, le degré d'une équation se détermine par la somme des exposants de toutes les inconnues que contient un même terme, prise dans le terme pour lequel cette somme est la plus forte.

Ce que nous tenons dédire suppose que Féquation ne renferme pas de fractions dont le dénominateur soit fonction de Tune des inconnues; si cela arrivait ainsi ^ il faudrait , pour s'assurer du degré de Téquation, faire disparaitre ce dénominateur. Nous ver* roos bientôt comment on y parvient.

Cela suppose encore qu'aucune dr s inconnues n*est affectée d'un exposant négatif; s'ît s'en trouvait quelqu'une dans ce cas, il faudrait mettre en dénominateur chacune des puissances négatives (n<* 135, rem.\ et faire disparaitre les dénominateurs.

581. Une équation d'un degré quelconque est dite numérique^ lorsque les inconnues seulement sont représentées par des letttes; ainsi, 3x — a =: 20, ^x +j- = 9 sont des équations numériques.

Lorsque toutes les quantités qui entrent d'une manière quelconque dans une équation sont représentées par des lettres, l'équation est dite littérale : ax -\- b=:c — c?, ax^ + bxy -|- cjr^ = d •ont des équations littérales.

Une équation d'un degré quelconque m est dite complète, lorsqu'elle contient un terme tout connu et toutes les puissances de chacune des inconnues depuis la première jusqu'à la /w""®, ainsi que tous les produits que Ton peut former en multipliant entr'elles toutes ces puissances, de manière que, dans un terme quelconque, la somme des exposants des inconnues ne puisse jamais surpasser m ,

582. On peut toujours supprimer un terme quelconque d'une équation dans le membre ou il se trou\^e , pourvu qu'on Céerive dans l'autre membre avec un si^ne contraire.

»Soit l'équation ao: — a=b — x.

Si on supprime — x dans le second membre , on augmente ce membre de la quantité x , puisque l'on ne fait pas la soustraction

188 içuATioiis.

indiquée par d — - x ; donc si on ajoute an premier membre la même quantité d?, on aura augmenté également les dedz membres de Téquation , donc ils n*auront pas cessé d*étre éganx , et on aura par conséquent

2 X — fl + a? = 6 .

Si on supprime encore le terme 6 dans le second membre , on diminue ce membre de la quantité i; donc si on retranche du premier membre la même quantité b , ce qui se fait en écrivant — 2 à la suite des termes qui composent ce membre, on aura di^ minué également les deux membres de Féquation ,donc ils seront encore égaux , et on aura par conséquent

aa? — a +'a: — i = o.

On écrit fréquemment les équations de cette manière.

Rem AB QUE. Il résulte du principe précédent que l*on peut changer les signes de tous les termes d'une équation , sans que V égalité des deujc membres soit troublée.

Soit l'équation ojc -\- P = c^ — J.r.

Faisant passer tous les termes du premier membre dans le second, et tons ceux du secon4 dans le premier, on aura ^

— c^ -}- 6a; == — ax — i*; et comme on peut évidemment changer les deux membres de place, on aura aussi

•— CLx — b* = — c* -}" i^'

883. On BppuWe équation Jbrmulaire à*un de^ré quelconque réquatlon littérale complète de ce degré; on la nomme ainsi , parce que toute équation numérique du même degré peut être représentée par cette même formule.

Diaprés Cela, ûar + J = o est Téquation formulaire du premier degré à une seule inconnue , parce que toute équation de ce degré ne devant contenir que deux sortes de termes (n° 581 ) , on pourra toujours la ramener à la forme ox + & = o ('^)> en faisant

(*) Lei quantités a ti b peuvent être positives ou négatives.

ÉQUAnORS. 189

*is les termes do second membre dans le premier, ce qui -jours permis (n<» 582) , et en faisant ensuite la somme algé- *ique de tous les termes affectés de Tinconnue d'une part, et d'une autre part la somme algébrique de tous les termes connus.

Si dans Téquation c r + i = o » on donne à a et à £ des yalenrs quelconques; si, par exemple, on suppose a= 7 , 6= 14, cette équation deviendra 73? -|- 1 4 = o ; si on suppose û = 5, 7» = — 20, elle deviendra 5jr — 20 = o ; si on suppose tf == 6 , 5 = 0, elle deviendra 6jc = o. On voit donc effectivement que ax -{- b ==^ o représente toutes les équations du premier degré h une inconnne*

^^ + ^J + ^ = o €st Téquation formulaire du premier degré à deux inconnues.

ax^ + 4j7 + c = o est réquation formulaire du second degré à une seule inconnue.

^^* + ày* + cxjr ^ dx+ ey -{- f=s o est Téqnation formulaire du second degré à deux inconnues.

N. B. Quelque fois on écrit les équations formulaires de la ma* nière suivante :

ax=ibf flur + ôj^=2C,et ainsi des autres.

584. La résolution des problèmes algébriques se divise en deux parties : la première s'appelle la mise en équation ^ et la seconde est la résolution de l'équation , ou des équations du problème*

La première partie est la plus difficile , en ce que Ton ne peut établir des règles invariables pour parvenir au but qu'on se propose, qui est d'écrire algébriquement toutes les conditions de la question. Tout ce qu'on peut dire là-dessus se réduit à ce qui suit:

Représentez les quantités cherchées par des lettres f cher-^ chez, dans l'énoncé de la question , les relations qui doivent exister entre les quantités connues et les quantités cher^ chées,puisj exprimez ces relations par une ou par plusieurs équations* ^

On conçoit bien que cette première partie de la résolutioo des problèmes dépend uniquement de la sagacité de celui qui doit ré- ' pondre à la question proposée;

190 RÈgOL. 9SS ÉQVAt. BV PRBK DBG. A «HE IHCOHNITE.

Qoaiit i la féconde partie, c*e$t-à-dire» quant à la résolution d«i éqoaUont, il ne pourra y aToir aocooe difficulté, du moment qae Foii connaîtra le petit pombre de règles qne nous allons exposer.

Lorsqu'on peut satisfaire de plusieurs manières aux conditions d'un problème, on dit que le problème est indétermine; quelque fois le nombre de solutions est illimité. On appelle, au contraire, problème déterminé, celui qui pe peut avoir qu'une seule solution .