RÉSOLUTION DES ÉQUATI01!^S DU PREIHIER DEGRÉ A UNE SEULE INCONNUE

58S. Résoudre une équation y c*est chercher des quantités , soit numériques, soit littérales, qui' mises en place des inconnues, rendent cette équation identique (n* 579). Ces quantités forment alors ce qu'on appelle un système de valeurs des inconnues , ou une solution de V équation , et on dit que ces valeurs satisfont à l'équation , ou que l'équation est satisfaite par ces valeurs.

Lorsque plusieurs équations doivent être satisfaites par les mêmes valeurs des mêmes inconnues, elles forment ce qu'on appelle un système d'équations. Résoudre ce système ^ c'est chercher des quantités qui , mises en place des inconnues, rendent toutes ces équations identiques.

586« La résolution des équations repose sur les principes qui ont été exposés (n^ 105, rem.). Ces principes étant vrais pour des ^Utés , ils ne peuvent manquer de l'être pour des équations , pui^qpe celles-ci ne sont autre chose que des égalités à satisfaire (n«579).

BéBOl. DM ÉQVkt. im mm. »E«. A OM IBCOHHVl. 191

Rbuarqub I. Les principes exposés (n^ lOS, rem.) ne ionê généralement vrais qu'autant qn'il ne s'agiê ^ue de fuoiitités qui ne sont pas nulles ou mfinigt^

Soil régalité 3 X o = 4 x o.

On peut bien diviser les deux membres par une quantité finie

3xo 4XO o o

quelconque m. Car Tégalité st= — se réduit à -— =±a

( n« 45, rem. ) , et (n** 502, !.*>) k o =o. Mais on ne pourrait pu diviser par zéro les deux membres de l'égalité 3xo = 4Xo;ctr

on aurait alors = , ou 3 :±=t 4 , ce qui ne peut être,

De méme^ si on divisait par QQ les dem membres 4c Fégalité .

. 3x 00 4X 00 3x 00=4x GO, on aurait =;= , ou 3 = 4.

Remabquk a. Il est évident que Tapplication des principes exposés (n^ 103 , rem.) aux équations ne peut rien changer aux valeurs des inconnues ; c^est-à-dire que, les valeurs des inconnues ne seront point altérées quand on effectuera la même opération sur les deux membres d'une équation*

I^ous remarquerons cependant que 51 on multipliait ou si on divisait les deux membres (Tune équation par une quantité qui fût fonction d'une inconnue^ les valeurs des inconnues pourraient être .altérées dans certains cas.

Soit réq«Kit ton 3^a=s5.

Si on multiplie les deux membres par ^— a, il viendra 3x(x — a) = 5(;c— .2).

Cette équation est vraie, car ayant multiplié deux quantités égales par une même quantité, les produits ne' peuvent manquer d*étre égaux; mais cette nouvelle équation n'admet pas pour x la même valeur que la première.

En effet, si dans la nouvelle équation on remplace x par a , on aura

3xa(2 — «) = 5x(a — a), on 6x0= 5xo, 00 (a* 45 , fieiTi.) 0=0, équation identique ; donc l'équiiHon 3x (jT — a) = 5 (:r — 2) est Mtisfaite par la valeur x = a.

Maintenant, si dans la première équation 3x = 5, on remplace X par 2, il viendra 6= 5 , ce qui ne peut être ; donc la valeur or = a qui satbfait à l'équation Zx{jx — a) = 5 (x — a) ne satisfait pas à la preaiière 3x =: 5.

S87. Lorsque les équations qu'on se propose de résoudre contiennent des termes fractionnaires , il faut d'abord transformer cette équation en une autre dont tous les termes soient entiers; ou, ce qui revient au même, il faut faire disparaître les dénominateurs '

Pour cela, cm multiplie chaque terme entier par le produit de tous les dénominateurs, et le numérateur de chaque terme fractionnaire par le produit des dénominateurs des autres fractions, puis on supprime les dénominateurs.

Soit réqnation

b^c hcx ax H am = a'— .

Mettant chaque terme entier sous la forme de fraction , en lui donnant Tunité pour dénominateur, on aura

ax b*c am a^ bcx

Réduisant au même dénominateur (n^ 297), on aura adfx h^cf adjm a^df hcdx

adfx + b^cf — adfm a^df — hcdx

ou

df df

Multipliant les deux membres de cette dernière équation par <^ il viendra

adfx -f- b^cf — adfm = c?df — bcdx.

ILÉSOIm des ^UAT. OD PRBS. UEO, A OUB inCONHUB. i9S

On voit doDC que l'opération dont ii s'agit rei^ient à ré^ tiuire les termes fractionnaires au* même dénominateur, et à -convertir chaque entier en une expression fractionnaire équi^ va lente ayant aussi le même dénominateur.

fjorsque quelqoes-uns des dénominatetirs auront des facteort communs, on emploiera les procédé! qui ont ^té exposés (n^ idO €i suiv.).

Soit réquation

bd^x Uc^d* S(^dx 1a^

aj:+ — Samzss: . — — — .^— .

8a* 4i' ^ab aô

Le plus petit multiple de tous les dénominateurs est 8a*6' («• 206).

Opérant sur les fractions comme il a été dit (n® 222), et multipliant chaque entier par ^a^é', on aura, en supprimant les déno« tninateurs %a^b^x + b'^d^x — koa^b^m = Sa^be^d^ — !koab*c^dx — aSa^^ ,

£n opérant comme nous venons de le faire, on obtient Téquation la plus simple, sans dénominateurs.

B88. Pour résoudre une équation du premier degré à une seule inconnue, on ia ramène d'abord à la forme ax = b (n® ^S^),puis on divise les deux membres par le coefficient a de l'inconnue.

Soit Téquation Sx — 24 =1 6 — 3x.

On aura successivement

Sx-^-^x = 16 + 24, Sx = 40,

jr = — = 5.

De là on p»it conclure que l'inconnue x est égale à 5 ; car la valeur de cette inconnue ne pouvant éire altérée par les transformations qu'on a fait subir. à l'équation proposée (n^ 586, rem. 2), cette équation sera satisfaite par toute valeur de x qui satisfera à Téquation ^ = 5. Or ,cellc-ci est évidemment satisfaite par le ToMB IL a 5

194 misât, vit é^at. mt rm. bbo. a vhb ucorhiis.

nombre 5 (n* 585), et ne peat Fétre par aocon antre nombre ; donc la proposée sera aussi satisfaite par la valenr x=:S.

Effectivement, si dans réqoaiion proposée on met en place de X la valeur 5 qu'on vient de trouver, elledevi^dra 5x5 — a4 = i6 — 3 X 5, ou a5 — a4 = i6 — i5,

on 1 = 1,

équation identique.

Soit encore Téquation or + A* = a* — bx..

On aura successivement

ax + bx = a^ — b* ^ {a+l)x = a' — b^ ,

jr = -,

on (n* 131, 3M

Si dans l'équation proposée on remplace x par sa valeur a — A, on trouvera ^

a (û — J) + A» = a» — A (a A) , ou

a^ — aA+ A* = a' — aA + A' . équation identique.

589. Toute quantité qui, mise en place de Tinconnue, rend une équation identique, ou satisfait à Téquation^ est dite racine de cette équation.

Une équation du premier degré h une inconnue ne peut avoir qu une racine; ou ce qui revieut au même, cette équation ne peut admettre qu'une seule valeur pour l'inconnue*

Soit Téquation ax -^ b =i o.

Supposons qu'il y ait deux racines différentes « et C , ou que Ton puisse avoir

moi. DU mB3f. Pfo. A VRB mcoHiini. 195

L.'éqiuilion oo: + £ == o doit être satisfaite en mettant en place de ^ Tnne on l'autre des valeurs et et C ^ on doit donc avoir

Betranchant lY^quation (2) de l'équation (x) , on aura a a, — a ^ = a ,

d*où il viendra ^ t=s ç ^

Donc les denz valeurs « et f ne peuvent différer l'une de l'autre; donc l'équation <z^ + & =: o ne peut avoir qu'une seule racine. Nous allons maintenant résoudre quelques problèmes du prentîer degré à une seule inconnue; la solution de ces problèmes donnera lieu à des remarques importantes sur les valeurs particulières que l'on obtient, dans certains cas, pour l'inconnue.