PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ A UNE SEULE INCONNUE
590. Pbobl£M£ I. Trouver deux nombres dont la somme soit 'jS et la différence 32.
Ce problème est réellement « deux inconnues, puisqu'il y a deux nombres à déterminer; mais les relations qui existent entre oea deux nombres sont tellement simples, que Tun ne peut cesser d'être inconnu, sans qu'il en soit de même pour l'autre. Nous allons' donc traiter cette question comme s'il n'y avait qu'un seul nombre i trouver, le plus petit ^ par exemple; et quand ce nombre sera connu , en loi ajoutant la différence donnée , nous aurons évidemment le plus grand.
On devra se conduire de cette manière lorsque les circonstances le permettront.
i96 nOB. DU PBBV. DBG. À UHB IHCOiniUK.
Représentant donc par x le plas petit des deux nombres de«
mandés , le plas grand sera x + 3a , puisque la différence de ces
lieux nombres est 3a ; leur somme sera donc représentée par or -fx
H- 3a, et comme, d*après renoncé de la question, cette somme
doit être ^6, Téquation du problème sera
d*où il viendra successivement
ajT = 44 »
X = = aa.
Le plus petit des dent nombres cherchés est donc aa , et comme
Te plus grand est x + 3a, il sera égal à aa -|- 3a, ou à 54. Ainsi,
on aura
le plas petit nombre = aa ,
le plus grand nombre = 54 »
dont la somme est bien 76 , et la différence 3a , conformément à I^énoncé du problème.
891. Lorsque, comme dans le problème précédent, les quantités connues sont exprimées en nombres , la valeur trouvée pour Tinconnue ne présente aucune trace des opérations qu*il a fallu effectuer pour Tobtenir. Si au lieu de représenter les données delà question par des nombres , on les représente par des lettres , alors la valeur de Tinconnue conserve la trace de ces opérations, et devient une formule, par le moyen de laquelle on peut résoudre toutes les questions de même espèce que la proposée.
Soit donc la question générale
Trouver deux nombres dont la somme soit ^^ et la différence d.
Représentant toujours par x le plus petit des deux nombres demandés , le plus grand sera x-^-d^et leur somme sera j: + ^ + ^• Donc puisque celte somme est représentée par s , l'équation do problème sera
PROB
DU PREM. Dee
uhb ihcohuub
J'où
il viendra successivement
-rf.
ax =
— rf
ou (
or c=s .
Le plus grand des deux nombres étant :r + </, il $era donc égal
k — ^ £/, ou à <P— -| , on a — -. + — .
De CCS deux valeors et h on conclut que
Connaissant la somme et la différence de deux quantités , on obtient la plus petite en retranchant la demi-différence de la demi-somme f et la plus grande j en ajoutant la demi^ différence à la demi-somme»
892. PaoBLiME a. Partager le nombre 6o en 3 parties qui soient entr' elles comme les nombres a , 3 ^f 5 ; ou ce qui re?ieot au même , partager le nombre 6o en 3 parties qui soient telles qMf l'on ait
la iJ^ partie esta la a."® : : a : 3 , et la iJ^ partie est à la 3.^^ :: a ! 5.
Soit X la première partie.
Puisque cette première partie doit être à la seconde dans le rap-' port de a à 3 , la seconde partie devra être représentée par le 4."* terme de la proportion
Sx
en sorte que la seconde des 3 parties du nombre 6o sera •
198 nos- i»v vtLEM, »B0. a vm iHoomn7&.
Pareillement, puisque la première partie doit être à la 3."^ dans le rapport de 3 i 5 , cette 3."* partie sera le 4."* terme de la pro^ portion
Sx
5x en sorte q«t la troisième partie cherchée sera .
L*éqaation do problème sera donc
3x Sx
