Tome II
302 noB. WD niM. mu, a «a laonnw.
Il est évident que ce problème est eaeore impossible « car la différence entre deox nombres positifs est toojoors moindre que le pi as grand de ce$ deux nombres , et à yô/i/orr ^ cette, diflérenee sera moindre que la somme- deces mêmes nombres.
En représentant par j: le plus petit des deux nombres denandés, le plus grand sera jt -f i8 « et comoM la somme de ces deaz nombres doit être 14 f Téqnation du problème sera
jr + x + i«=: »4t qui donnera a* = — 4 «
d'où X = = — a ;
et on aura par conséquent pour le second nombre
en jr 4. 18 =s 16.
De même que dans le problème précédent , la valenr — 2 que Ton vient de trouver pour x confirme ce que Ton savait déjà ; c*€stà-dire , qu'il n'existe pas de nombre positif qui puisse satisfaire à l'énoncé de la question.
Mais cette valeur — a satisfaisant à l'équation x ••{• i8p= l6 qui est la traduction algébrique d un problème impossible, annonce en même temps que la condition exprimée par cette équation deviendra possible si, sans changer la valeur absolue de x, on change seulement le signe de cette inconnue, comme on l'a déjà fait
(n? 595). Or la formule x = du n* 591, qui, dans
toutes les questions de même nature que celle qui nous occupe
maintenant, donne la valeur du plus petit x des deux nombres
cberchés, devient ici x = — — — j et comme xest négatif, il
faut le rendre positif , ce qui se fera en écrivant x = ,
c'eat-à-dire (n^ 591 ) qu'il laut considérer 18 comme la somme dts
deux nombres cherchés f et 1 4 comme leur différence. En sorte
que, pour rendre le problème possible, il suffira de TéDoncer
nos. »C MLMM. 9M9. à. UHI IMOHNITI. 203
minai z trouver deux nombres pasiti fi , dont ia somme soit iS,etia différence 14.
S9T. Les detiz exemples précédents suffisent poor faire voir ^ae les solotions négatives, que Ton obtient dans les problèmes dn premier degré à une inconnue, proviennent de conditions impos* sibles , ou mal interprétées^ dans Ténoncé de la question. Ces solutions négatives font aussi apercevoir comment il faut s*j prendre pour rectifier ces mêmes conditions ; cela revient toujours à prendre les données de la question, ou quelques^^unes d'elles, dans une acception cob traire.
1598. Problème 6. Partager le nombre 17 en deux parties e/itiêres et positives , dont la différence soit 6.
Représentant la plus grande des parties cberchées par x^ la plus petite sera 17 — x , donc la différence de ces deux parties sera ar — (17 — ar);et emame cette différence doit étrt 6 , l'équatiaa fia problème sera
, X — (17 — jr) = 6',
qui , étant résolue , donnera jr s= 1 1 -— .
La plus petite partie étant i^ -^ x , elle sera donc ^ale a 1 7
— 1 1 -. — 9, ou à 5 •.
La vafenr \\ — — trouvée pour x satisfait à Féquation x— - ( 17 a
^ — x) = 6 ,. et, quoique positive, elle ne satisfait pas k Ténoncé
de la question ; cela provient de ce que cet énoncé renferme une
condition que l'on n*a pu écrire algébriquement, savoir: que
les deux parties du nombre proposé devaient être des nombres
entiers.
On voit donc qn* une valeur positiim de l'inconnue pet^t , dans
certains cas, ne pas satisfaire à Vénoncé de la question.
RaMAaQiTE. Le problème que nous Tenons de vétoadre peut s*énoncer de la manière suivante :
204 MOS. hV PBBM. DBff. A URB tHCOHlfOB.
Trouver deuxjnamhres entiers positifs , dont la somme soit l'jp et ia différence 6.
En employant les formules du n^ 59i , on trouvera pour le plus grand des deux nombres demandés
et pour le plus petit
s d fj 6 11 I
2 2 2 2 2 a comme ci-dessus.
599. Problème 7. Un pédieur consent à payer à son fils 24 centimes pour chaque coup de filet dans lequel il y aura du poisson , à condition de lui retenir 6 centimes pour chaque coup de filet dans lequel il ny aura rien. Le fils donne 3o coups de filet, et il se trousse que, tout compte fait, il n'a rien à recevoir ni à payer; on demande combien il y a eu de coups de filet heureux»
Si on représente ce nombre par x , le nombre de eoops de filet malheureux sera représenté par 3o — x.
Puisque le pêcheur doit payer à son fils 24 centimes par coup de filet heureux, il lui devra donc un nombre de centimes repn^senté par 24;r ^ et comme le fils doit payer au père 6 centimes par coup de filet malheureux , il lui devra donc un nombre de centimes représenté par (3o — x) 6. Comme, en définitive, il n'y a rien à payer de part ni d*autre, l'équation du problème sera donc a4j: = (3o — x) 6.
Cette équation étant résolae , donnera x = 6 , en sorte qu il y aura eu 6 coups de filet heureux, et, par conséquent, 24 coups malheureux.
Les conditions du problème sont remplies, car d*après ces conditions, le père doit an fils (o^, 24)X6, on 1', 44 9 tt le fils doit au père(o', 6)X24, oui', 44-
p&OB OU pim. BBS. A tnu iicoiiHi». 305
600. Un père ordonne ptir son testàmeni tjue l'aéné de ses ^nf^iTïït s prélève sur son bien nne somme a plus la n** partie du r^ste; que le second enfant prenne ensuite une somme aa ptus la n"« partie de ce qui restera encore après ce prélève^ ment ; que le troisième enfant prenne sur ce second reste une somrne 3a plus la d">' partie de ce qui restera , et ainsi de suilB. Il arrive par là que tous les enfants sont également partagés, et que le bien du père est employé entièrement à ce partage; on demande
1<*. Quel était le bien du père, 2^. Le nombre des enfants, 3®. La part de chacun d'eux.
Puisque toutes les parts sont égales, il est évident qu'il suffira de déterminer le bien du père, et.la part d*un des enfants; divisant ensuite le bien du père par la part trouvée, on aura le nombre des enfants.
Représentons par x le bien du père, et retranchons de ce bien la somme a qui doit d^abord être prélevée en faveur de Tainé des enfants. Le reste sera x — a, et comme ce même enfant doit avoir en outre la n^^ partie de ce reste, sa part sera donc
et par conséquent , ce qui restera du bien à partager sera x '^ a
X — a n (ar— a) — {x'-^a) (n — i) (x — fl)
, ou ? — , ou ^ .
Pour former la part du s^coiid enfant, il faut d*abord prélever
snr ce reste la somme 2a, pius la n"*^ partie de ce qui restera. Or
, («-rO(^— û) .. (/i— i)(x — tf)
en retranchant 2a de — * , il restera ■
(n- 1 ) {x—a) - %an (/i— i )x— a)— ^an I
— a«, ou * , don t la n™* partie sera — ' ,
n ^ Ji*
et par conséquent là part du second enfant sera
(/t — i) (.r — a) — 2an
2(KS nia. 9V nsv. dm. a m» ihoohrvi.
Tons leê enfants devant être également partagéi, il est inatîle de chercher a exprimer les antres parts ; en écrivant que la première part est égale à la seconde, nous aurons une équation, qui étant résolue, fera connaître le bien du père. Remplaçant ensuite Tin-
connue :r dans Texpression a -] -^ de la part que doit avoir
Falné des enfants, on connaîtra cette part, et par conséquent toutes
les autres. Divisant ensuite lai valeur de x par Tune des parts, cela
fera connaître le nombre des enfants.
L'équation du problème est donc
:r— a (n — i) {x — a) — aan
n rr , »
d*où il viendra
an^ + (x — a) /i = aû/i* + {n — i ) (or — «) — a^'»»
n(x — /i) — (;i — i) [x — a) =z a^/i* — %an — an^ ,
(h — /i + ^) {^ — a) = an^ — aaw , X — a = an^ — 2an ,
X = an* — 2an + a , j: = a («• — a/i + I )»
ou(nM31,2.<»)
Si on substitue cette valeur dans Fexpression a -| delà part
de Talné des enfants, on aura pour la valeur de cette part
a{n-iy-
.i) + fl{n— 0»
oo
noB. M7 pum. »ie. a vm mcoNHim. 207
n oo tfC/i — i).
Enfin, si on divise le bien da père, qui est représenté par à[n — i)* par la part â(/i — i) qui revient à chacun des enfants, on aura le
nombre de ces enfants , qui sera ■ ,
û(ll-r-l)(7I — i)
ou ■■ ,
oo /l— I.
Dont , I.® le bien du pèce =3 a(ji — 1)*,
a.® la part de chaque enfant :=3 aC/i— i) 9
