le nombre des enfants = n — i

L*éqoalîon

* — a (/r— i)(x — a) — ixan

qui a donné la valeur de x n'exprimant que l'égalité des deux premières parts , il reste à s'assurer si en considérant le bien à pai^tager comme égal à a (/i — i)', le nombre des enfants est bien/i-^i, et si toutes les parts seront égales à a {n — i).

Pour cela , du bien a{n — i ]* retranchons les deux premières parts qui font %a{n — i )• et nous aurons pour reste

a {n — i)* — aa (/i — i>, oo a (/i — i) (n — I — a),

La part du troisième enfant sera donc, d'après les conditions du problème , 3a + la n."* partie de la quantité a {n — i ) (n — 3 ) diminuée de 3^, c'est-à-dire qoe cette troisième part sera exprimée par

a in—i) (/i— 3) — 34»

268 MOB. BV VUEM. OB6. ▲ QUE IMCOflHBZ.

3an'\-a {n — i) («—3) — 3a

ou

oa

ou a («— i).

Donc la troisième part sera égale aux deux premières , et ces trois parts vaudront ensemble Sa (/i — i).

Pour s'assurer que la 4.™® part sera égale aux précédentes , il faudrait encore retrancher ces trois parts réunies de la totalité du bien a (/i — i)*, ce qui donnerait pour reste a{n — 1)*— 3a(n — i); la part du 4 "^^ enfant serait formée de 4^ plus la /i.™® partie de ce reste diminué de 4^1 et en continuant de la même manière, on trouverait que chacune des parts serait encore égale à a(n—i).

Mais on peut se dispenser de tous ces essais , et constater tout d*un coup l'égalité de toutes les parts, en démontrant que si Tégalité a lien pour un certain nombre de parts, la part suivante sera aussi égale à celles-là.

Soit dont m le nombre des parts que Ton sait être égales à a (71— i).

Pour trouver la part suivante, ou la {m -|- i).'°% il faut d'abord retrancher du bien total la somme ma {n — 1} des m parts égales à a (n — 1), ce qui donnera pour reste « (/i — 1)^— ma (n — i), on a («-- i)(/i — I — m). Ensuite, il faudra ajouter à (m+ i) ah n."^^ partie de ce reste diminué de (//2 4~ ^ ) ^*

La (m 4- i)-"*® part sera donc

ain'-'i) U — I — m) — (iw-f-i)a

ou — ► ' ,

VBOB. Bv nn. BB9. 1 VUE niGoifiivx. 109

<fU • — • ,

En sorte qne si m parts soajt égales entr*ell^ ,\a(m -^ i).^^ part sera égale aux précédentes.

Diaprés cela, les S premières parts qui viennent d*étre oalealées ^tant égales à a (/t — i) , la 4.""* sera égale à « (11 — x ); les 4 pr«mières parts étant égales à a (n — i), la 5.*»* sera aussi égale k a^n — 1), et ainsi des antres.

Quant an nombre des enfants, il ne peut 7 avoir le moindre

^oute : du moment que le^îen est ai/i-- i)', et que la part de chacun

«st a (/t — i), le nombre des partageants ne peut manquer d*étre

■ , ou /i — I.

Pour faire Tapplication des formules que nous venons de trouver, supposons que Tainé des enfants doive prélever une somme de loooo^ plus la 6.°^® partie du reste de l'héritage; que le second doiye prélever ensuite la somme de aoooo^ plus la 6.*°* partie de ce qui restera après, et ainsi de suite.

On aura donc dans ce cas

a =1= 10000, 71 = 6, et par conséquent les trois formules

Le bien du père = <i (71 — s)* ,

La part de chaque enfant = « (/i — 1) , Le nombre des enfants = ti — i , trouvées précédemment , donneront

i,"" Le bien du père = loooo'- X C6— 0*

= loooo'' X 5* = loooo'* X ^5 = aSoooo'' j Tome IL 27

210 PfiOBLilU m G0VBBIBB6.

2,^ L a part de chaque enfant = i oooo'» X (6— i \ = loooo'* X 5 s=: 5oooo'- ; 3.® ile nombre des enfants = 6 — i = 5.

On voit par là combien la résolution des problèmes numériques devient simple, quand on a traité d'une manière générale la question dont il 8*agU.

PEOBLàMB DES )COUERIfi&S.

/' 601. Veux courriers yartent de deux villes A et B dont la distance est de à kilomètres. Le courrier qui para de A fait a kilomètres par heure, et celui qui part de B en fait h et part h heures avant le courrier A. On demande

!.<> Les conditions, nécessaires pour que les courriers se rencontrent.

2.* Le temps qui s'écoulera depuis le départ du courrier B jusqu'à l'instant de la rencontre.