Ze chemin fait par chacun des courriers
ic^ Si les courriers marchant dans le même sens, le courrier B qui part le premier est devant l'autre , c'est-à-dire, si la route se fait dans le sens A6R, il faudra nécessairement que la yitesse b du courrier B soit moindre que la vitesse a de l'autre courrier.
Si les deui courriers marchant encore dans le même sens , le courrier B qui part le premier est derrière l'autre, c'est-à-dire, si
PBOB BBS COUBR. A UNE mCOTUffVK. 211
la route se fait dans le sens BAR^ la rencontre aura Heu si la "vitesse b du courrier B est la plus grande, pourvu qu'elle soit assez; petite pour que ce courrier ne soit pas arrivé en A avant le départ de l'autre, ou dans le temps h» La rencontre pourra encore avoir lieu dans le cas où la vitesse b serait plus petite que a, pourvu qu*ell« soit alsez grande pour que le courrier B puisse franchir la distance AB cm d avant le départ de l'autre courrier.
£nfin, si les deux courriers vont à la rencontre Tun de Tautre^ ils se rencontreront nécessairement^ qtiel les que soient d'ailleurs leurs "vitesses respectives, à moins cependant que le courrier B qui part le premier, et qui se dirige vers R\ ne soit arrivé en A avant le départ de l'autre qui doit se diriger vers R.
a.o Supposons, pour fixer îes idées» que la route se fasse dans le sens ABR, et représentons par x le nombre d'beuresque le courrier B , qui part le premier, doit marcher avant d'être joint parTautre, Ce premier courrier faisant 5 kilomètres par heure, il en fera dans x heures un nombre représenté par &r; et comme à l'instant de son départ, il était à £f kilomètres du point A, au moment de la jonction, il en sera à une distance AR représentée par ke '{- d.
Le courrier A partant h heures après le premier, le temps de sa marche sera x— h, et comme il fait a kilomètres par heure, à l 'instant où il joindra le courrier B, il aura parcouru la distance AR représentée par {x — h) a.
L'équation du problème est donc
bx -\- d :^= {x — h) a^ qui donne successivement
bx ■+• d = ax — ah y bx — ax =3 — ah — d , (b — a^x = — ah — - d^ — ah — d
ou {n.° 153, rem,),
ah + d
212 raoB. BES eoiJBB. a vue ihgohhux.
en sorle que le courrier B aura marché peailaBt an nombre d'heures
exprimé par .
3.^ Pour trouver le chemin fait par le courrier B, il est clair
ab-^d
qn*ii faut multiplier ipar , ce qui doanera, en reprësen-
tant ce chemin par C%
Le courrier A ayant à parcourir la distance AB ou d de plus que le courrier B, le chemin qu*il aura fait sera égal à
rzTô '
ahb J^hd'\-ad — hd
ou a
Qua
ou a
ou à
ahb -f- ad a — h
{bh -t- d)a
en sorte que si on représente par ce le chemin fait par ce courrier, on aura
{]bk -\' d)a
La solution du problème proposé est donc représentée par la formules
ah-^d
PROB. BM COUIB. ▲ CM IRCOIIIIUI» 219
{ah -^ d) b
(bh -^ d) a a — b
dans rbypolhèfe que lecoarrier B qui part le preiaier marche devant raatre.
60S. Supposons main tenant que le courrier B soit derrière Faulre^ c'est-à-dire, que la roule se fasse dans lesens BAR^
La dislance AR' à laquelle lepremier courrier Osera du point A à rinsf ant de la jonction sera égale à BR' — BA , ou à bx— d^ et la distance à laquelle le second courrier sera du même point sera toujours (x — h) a,
L*équalioa du problème sera donc, dans ce cas, 6j: — </ =3 ( j: — A) ex , qui, étant résolue, donnera
ah—d
et par suite
{ah ^d)b
(bh — d) a
et «= i 1 (6).
Ces trois dernières formules donneront la solution de Ions les problèmes de cette espèce dans la a.™* bypotbèse*
Ceci noms conduit à une remarque importante relaliTement aux signes-^ et -> : elle consiste en ce que, le signe d'une quantité des^^ tinée à reptésentet la grandeur tmmérique d^une distance doU changer lorsque cette distance prend une direction eonttaire» C'est ce qui arrive ici ; dans le n.^ 60i, la distance d(\xkï était comptée de A vers B avait le signe -|-, et maintenant qu elle est comptée de B vers A; elle prend le signe — •
2^* piOB. BIS coimB. À xmB ntcoRim.
603. Pour appliquer les formules trouvées (n.^* 60i et 602) à on exemple, nous supposerons </= 17 kilomètres,
A == 8 heures, ^ =3 2 kilomètres, a = 3 kilomètres.
Substituant ces valeurs dans les formules du n.° 601 , on iroavera
r (3x8+i7)x a (34+i7)Xa
= =: Sa ,
^ UX8+I7)X3 (i64.i7)><3
Si on subtitne les mêmes valeurs numériques dans les formules du n.o 602, elles donneront
^ (ax8^i7)X3 ""^ 3— a
Remarque. La valeur négative trouvée pour le chemin flfc du courrier A fait voir que ce chemin doit être fait en sens contraire de celui qu'on a supposé dans Ténoncé (n<» 602), c'est-à-dire, que le second courrier, au lieu de se diriger de A vers R' doit venir à la rencontre du premier. Il est effectivement facile de voir que les quantités données cf = 17, ^ = 8, è = a, a =: 3 ne satisfont pas aux conditions nécessaires pour que la rencontre puisse avoir lieu (n.*> 601)^ car la distance octant plus grande que le chemin bA
PBOB. DM CÙChtL À QRB ISC0IIRI7I. 215
que peut faire le courrier B pendant le temps qu'il a d'avance sur le second, lorsque celui-ci partira du point A, le premier n'y sera point encore arrivé , et puisqu'il va moins Tite que l'autre, il ne pourra jamais l'atteindre, si cet autre se dirige de A vers R^ Il faut donc que le courrier A, an lieu de marcher dans le sens AR^ comme l'énoncé le suppose, vienne à la rencontre du courrier B^ c'est-àdire, qu'il se dirige dans le sens AB.
Donc, pour que le problème soit possible, avec les données que nous venons de prendre^ il faut l'énoncer de la manière suivante :
Deux courriers A ei B vont à la rencontre fun dé l'autre ^ en partant de deux villes dont la distance est defj kilomètres. Le courrier B fait- a kilomètres par heure, et le courrier A, en fait 3. Le courrierB part 8 heures avant l'autre. On demande te temps que le courrier B mettra à joindre le courrier Ay et te chemin fait par chacun des courriers à l'instant de leur jonction.
Soit x\e temps de la marche du courrier B. Puisque ce courrier fait 2 kilomètres par heure, dans x heures, il en fera 2x , et par conséquent la distance AR à laquelle il sera du point A, au moment de la rencontre , sera AB — 2x, ou (17 — 2x) kilomètres.
Le courrier A partant 8 heures après l'autre, il n'aura marché que pendant (j:— 8) heures, et comme il fait 3 kilomètres par heure, il sera , à l'instant de la rencontre, éloigné du point A d'une quantité AR égale à 3 (:c— 8) kilomètres.
L'équation du problème est donc
3 (a: — 8) = 17 ^ — 2x^ qui, étant résolue, donne
Pour trouver le chemin f fait par le courrier B , il faut multiplier sa vitesse, qui est a kilomètres à l 'heure, par le nombre d'heures
216 PBOB. 1ȣ8 COVBB. A VTHE IIlOOlIlfVE.
qa*il doit être en route, c'est- îh-dire, par 8 — — , ce qui don-
Ponr trouver le chemin et fait par le courrier A qui fait 3 kilomètres à rheurCf il ùiut multiplier 3 kilomètres par le nombre d'heures
qu'il a dû être en route, c'est- à-dire par (x — 8), ou — - , ce qui
donnera
flcs=5 kilomètres.
Ainsi, la valeur négative — 3 trouvée pour et indique, comme dans les problèmes 4 et 5 , que quelqu'une des conditions de renoncé a été prise en sens contraire, et elle donne en même temps le moyen de rectifier Ténoncé. Mais dans les problèmes 4 et 5, on a pu découvrir la modification à faire dans l énoncé, en changeant simplement le signe de ^dansTéqualion à résoudre, ce qui ne peut passe faire ici, et cela tient à la manière dont nousavons mis le problème en équation. Nous traiterons plus lard celle même question d'une manière qui justifiera ce que nous avons dit(n° 597) au sujet des solutions négatives»
604. ^ on suppose que les courriers , marchant dans le même sens, ont des vitesses égales , il est évident qu'ils seront toujours à la même distance d Fun de l'autre , et que , par conséquent , ils ne pourront jamais se rencontrer; c'est aussi ce que la solution générale fait voir clairement. Car , dans le cas où d == a , les fi^m.ules du n^ 601 deviennent
ohA-d
^ {ah+d)b
VBOB hbs C091IB. à, vas rnooniira. 217
ce qui indique que \es courriers ne pourront se rencontrer qu'après un temps infini, et après avoir parcouru des espaces infinis (n» 302, 2«).
605. Si les courriers , partant en même temps du même point, marchent dans le même sens, avec des vitesses égales, il est clair qu'ils ne se quitteront jamais, et que le problème sera entièrement indéterminé. Cest aussi ce que Ton peut voir à l'aide des formules du n«» 601.
Si dans ces formules, on fait
i =1= û , £3? = o , A = o , on trouvera
ce qui fait voir que toutes les quantités chercfiées sont indéterminées (n« 302 , 7.° ).
€06. En résumant tout ce qui vient d'être dit sur les équations et les problèmes du premier degré à une inconnue, on reconnaît:
1.® Qu*une équation du premier degré à une inconnue ne peut avoir qu'une seule racine (n® 589).
2.° Que si la valeur trouvée pour Cinconnue est positive, le problème qui a donné lieu à l'équation est possible, et la valeur trouvée satisfait à l'énoncé, à moins qu'il se trouve dans cet énoncé quelque condition qu'on ne puisse écrire algé^ briquement (n® 598).
3.<^ Que toute solution négative indique généralement quelque condition impoisibU , ou mal interprétée , dans l'énoncé de la questions» et que cette condition peut devenir possible en prenant les données > ou seulement quelques unes d^ elles dans des acceptions contraires (n® 597).
