Que si la valeur de t inconnue se présente sous la
forme , le problème est indéterminé (u^ 605) , sauf la
cesurciion dont nous avons pavlc' (n* 302 , 7.9 rem.).
RESOLUTION DES ÉQUATIOI^S DCF PftESUEE DEGEÉ, A DEUX INCONNUES.
607. Pour résoudre une équation du premier degré' à deux inconnues^ il faut d abord la ramener à la forme ax -{^ by = c. Pbur cela, on fait passer dans le premier membre tous les termes qui contiennent des inconnues, et dans f autre tous l'es termes qui ne renferment que des quantités connues (n® 582) ,• puis on fait la /somme algébrique dé tous les termes en x^ ta somme algébrique- de tous les termes en j, et celle de tous les termes connue.
On résout ensuite l'équatio/n par rapport à l'une des inconnues (a® 588) , en opérant comme si tout le reste était connu ^ ee qui donne la valeur de cette inconnue en fonction de l'autre /. on attribue à cefte dernière une valeur numérique quelconque que l'on met ten sa place dans la valeur trouvée pour la première , et on a/ainsi une v(Ueur de cette inconnue, qui, conjointement avec 4a valeur arbitraire attribuée à l'autre inconnue^ satisfait à l'éifuation proposée*
BigQl. BEg ÉQDAT. W PBBM. BXO. A 2 iHÇOnilVBS. Ml
Soit Téqnal ion Ôj:-}- 3/ = a6.
^i on résout cette équation par rapport à a: , on trouvera
Il est évident que Ton ne pourra obtenir pour x une valeur numérique, si on ne commence par assigner à i* une valeur arbitraire : si donc on suppose jr =2 , par exempfe , et si >on substitue -c^ nombre a dans la valeur de ;r , en aura
a6 — 3xî» /
/ -en sorl« ^qot le «ys tème de valeur /
^evra satisfaire à réquation proposée ^ et , en effet , si on substitue ces valeurs ^ans celte équation , elle deviendra
ao -4- 6 = a6/ou 26 = aÇ, équation identique. /
Mais à moins que Ténonoé du problème qui a donné lieu à IVquation ne renferme des conditions parriculières, susceptibles de limiter le nombre de valeurs que Ton doit attribuer à ^ , il est évident qu'au lieu de \e sqrpposer égal à 3 , ainsi que nous venons de le faire, on pourrait le supposer égal à tout autre nombre, entier ou fractionnaire , positif ou négatif. Chacune des valeurs de^ en donnerait une pourx, et chaque couple de valeurs de ic et de^ satisferait à Téquation proposée , et à Ténoncé de la question ; d*où il résulta que le problème qui a donné lieu à cette équation €St indéterminé (n° 584).
Il est facile de se convaincre de cette vérité , car 1 équation Sx •+-3x = a6 est la traduction algébrique de ce problème : trouver deux nombres x et y tels que , si au quintuple du premier on ajoute le triplé du second, la somme soit a6, ou autrement: trouver deux riombres Sx et 3/ dont la somme soit 26 ; questlori qui est évidemment susceptible d'une infinité de solutions.
6A. Le nombre de solutions d-un problème indéterminé se
trooTe par fob limité par certaines cooditions que Ton ne peut écrire algébriqoement. Sapposont, par exemple, que, le -problème qai a donné lien à Téquation Sx -f- 3jr =r a6 ait été énoncé ainsi: trouver deux nombres enders positifs tels que , si au quintuple du premier on ajoute le triple du second, la somme soit a6.
Il est d abord évident que Ton ne pourra attribuer à^ que des Talenrs entières et positives. De plus, si on examine la valeur
X = donnée par Téqnation proposée, on verra facilement
qu'on ne peut attribuer à j une valeur plus grande que 8, car si on mettait seulement 9 en place de^ dans la valeur de x le numérateur a6 — 3/ deviendrait 26 — 3 X 9 » ou — i , et par conséquent X serait négatif, ce qui est contraire à Tune des conditions de renoncé.
Donc , pour satisfaire à la condition que les nombres cberchés soient positifs, on ne peut supposera y que les valeurs, o, i > 3 , 3,49^96,7,8. Mais de toutes ces valeurs , il n'y a que 3 et 7 qui donne pour x des valeurs entières ; donc le problème proposé n'a que deux solutions qui sont exprimées par les deux systèmes de valeurs
609. Si à une équation quelconque du premier degré à deux inconnues , qui est généralement représentée par ax -(-by = c, on adjoint une seconde équation qui contienne une des inconnues , par exemple, t équation my = n; alors le système de ces deux équations devient la traduction alqé^ brique d'un problème déterminé.
Car de l'équation mpr = n ou déduit y = , et de Téquation
ax + 4^ = c il vient x = . Or dans celte valeur de x on ne
rMSOL. DBS ÈQVAT, DB PBBM. OlO. ▲ 2 iHCOAlIVBf.
peut substituer pour j^ que la valeur , la seule qui puisse salis-
faire à lëqualion my = «(n*» 589) ; donc il n'y nura qu'une seule
valeur de j: qui sera
a 11 suit de là que le seul système de valeurs
pourra satisfaire aux équations ax -^^ bx= c ei rny = n, ainsi qu'au problème dont ce système d'équations est la traduction algébrique, s'il n'existe d'ailleurs aucune incompatibilité entre les conditions exprimées par chacune des équations en particulier.
On peut aussi adjoindre à l'équation ax + ^7 = ^ ^^^ seconde équation de même forme , c'est-à-dire j qui contient tes deux mêmes inconnues, et que l'on représente ordinai^ rement par a'x + y y = c' ; alors le système des deux équations ax + hy = c et a'x + b^y == c' est, en général, la traduction algébrique d'un problème déterminée Ce système d'équations étant résolu par l'une des méthodes que nous allqns exposer, on obtient des valeuts de i et de y , qvt , si elles sont positti^es, satisferont aux deux équations et à l'énoncé du problème qui donnerait lieu à ces équations^ sauf le cas d'incompatibilité entre les conditions qu'elles expriment, et celui oà les deux équations seraient une conséquence Cune de l'autre , comme pous le verrons par la suite.
610. Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues^ on les ramène à la forme ax + by = c, puisj on
m BitOL. »IS ÉffUAT. MT PASM. »BO. ▲ 2 XSOOHBWS.
résout chacune d'elles par rapport à une des inconnues , par rapport ài, par exemple (d** 588)^ en opérant comme si tout le reste était connu. On égale les deux valeurs de x, ce qui donne une nouvelle équation ne contenant plus que y et des quantités connues : on en déduit la valeur de y (n* 588), et substituant cette valeur dans l'une ou dans Vautre des valeurs de Xf il ne reste plus qu'a effectuer les opérations indi^ quées.
Soient les équa lions
ax -|- ar — 6 = 28 ^ j: — 3j, jr — « 2x, — 8 = i3 — ' 2jr — 4^.
Ramenant chacune de ces équations à la forme ox '•^bjr= c, cSles deviendront
