r -f 5r = 3/, , îj: -|- 3j

Résolvant thacane de ces équations par rapport à x^ il viendra 34— 5r ^=— T'

ai — 3^

Égalant ces deux valeurs, on aura Téquation

34 — 5^ ai — 3j

qui, étant résolue, donnera yz= S,

Substituant cette valeur dans une de celles de x, dans la seconde,

ai — 3x5

par exemple, on aura x = = 3.

La résolution des deux équations proposées donne donc le système de valeurs

X =m 3,jr = S.

Ces valeurs de X et de^ devront satisfaire aux deux équations proposées.

BÉSOL. BBS ÉQVAT. DV PBEI. DE6. A 2 IlfCORllUSS. 22S

Cabord , la valeur 5 de jr^ substituée dans Tane ou dans Faufre des valeurs de x, doit donner le même résultat. Caria valeur dey ayant été déduite de l'équation (se), elle devra satisfaire à cette écjuation (n^ 888), dont les deux membres sont précisément lesdeui "va leurs de x dont il s*agit.

ï)n second lieu, les transformations qu*6n a fait subir aux éqoa-

tioos pro|K)sée8 poar arriver aux équations x = ■ -> d

ai— 3j x- = ■ ne pouvant (n* 586, rem. a.) altérer les valeari des

inconnues, les valeurs :r = 3, ^ = ^ satisfaisant à ces deux der«

nières équations, elles sat^isferont aussi aux proposées.

Par la première partie de lopération que nous venons de faire, on est conduit à une équation à nne seule inconnue; cette partie de l*bpération est connue sous le nom di élimination,

L*équation à o-ne inconnue qu*it s'agit dèrésoudre quand rélimîaation est effectuée se nomme équation finaU,

611. L'équation finale fit pouvant avoir qu'une racine (n* 589)^ on ne pourra jamais trouver qu'une valeur de l'inconnue qu'elle contient, et par conséquent (n^ 610) on ne pourra obtenir qu'âne valeur de l'inconnue qui aura d'abord été éliminée. On est donc en droit de conclure qu'// n*ttxiste qu*tm seul couple de valeart qui puisse satisfaire à un système de dewa équations du premier deg^ à deux inconnues.

Remarque Au lieu de substituer la racine de l'éqtiation fibalé dans une des valeurs de l'inconnue qui a été éliminée, on peal éliminer la seconde inconnue entre Ifs deux équations proposées, ce qui conduira aune nouvelle équation .finale, q ui, étant résolue, feca connaître la valeur de l'inconnue qui avait d'abord été éliminée ;; mais on conçoit qu'il est préférable d*employer le procédé que noua avons indiqué (n<* 610).

Indépendamment de la méthode d'élimination que nous venons^ de donner, et que Ton nomme méthode de comparaison^ il y a en*

224 l^SOL. BB8 <QUAT. I»U PBm. BSe. A 2 IHGORHVBS.

core trois autres procédés pour éliminer entre deax équations k deux inconnues ; le premier de ces nouveaux procédés s'appelle méthode de substitution ; le second, méthode de réduction , et le troisième, méthode des indéterminées»

612. 2."* MéTHODE. Après avoir ramené les deux équa" tions à la forme ax -{- by = c, on résout une des ces équations par rapport à Cune des inconnues, par rapport à x, par exemple, et on substitue la valeur de x dans Vautre équation^ ce qui en donne une nouvelle qui ne renferme plus x* Cette dernière, qui est alors l'équation finale^ donne la valeur de j, qui étant substituée dans la valeur trouvée précédemment pour X( fait connaître la valeur de cette inconnue. Soient les équations

3x — 2.jr — 3o = 8 — 2x — 6^, 7^ — ^ + 7 = ^9 + X + 3jr.

Ces équations, ramenées à la forme ar-|- &^ = c, deviendront 5x + 4r = 38, 6j: — i 7j = 22.

Résolvant la première par rapport à j', quia le plus petit coefficient, on aura

et substituant cette valeur dans la seconde , il viendra

38— 5x 6a:— 7X =aa U)>

ou a4x — a66 -f 35x = 88 ,

d'où X =: 6.

Substituant cette valeur dans celle de^ trouvée plus haut, on aura

BtSOI. DES <Q''AT. DU PRBM. BEfi. A 2 HfCONntBI. 225

Ces valeurs de :ret de y devront satisfaire aux deui équations proposées.'