xox

A."* terme = aV = loaV,

'. ' \ - . 4 . «t ^our le 6."?- qoi opit elrc le dernier (n^ 4il ), on trouvera

' B^anîWan^aèû^'cÀ 'termes, on aura

(ar+ a)* = je* + 5 aoï* -}- io^/*a:*+ loa'x* + 5a*ar + «•.

414. Ji existe ah cas dans lequel la formule du binôme parad être en défaut : c'est celui dans lequel m == o.

Car, dans ce cas, le premier terme x"* devient a:** ou i, le der> nier terme a"* devient aussi runilé, et tous les termes intermédiaires deviennent nuls, puisque cliacun deux contient le facteur m = o.La formule devient donc dans ce cas

OU I == 1 + 1 == a,

ce qui est absurde.

Celle absurdité provient de ce qae Von applique mal la formule du n« 409.

En effet , dans le cas de w =o,la formule ne peut avoir qu'un seul terme (n*» 411); donc le développement de (x -{- af doit se réduire au premier terme x** ou i.

415. On pourrait être surpris de voir que a n'entre pas dans le développement de (ar+a )**, attendu que a: + « est composé en a comme il Test en x; mais si on se rappelle que le coefficient du terme unique x^ est l'unité, on concevra facilement qu'on peut mettre ce terme sous la forme a^ a:*», puisque a» =i .

416. Pour élever à une puissance donnée un binôme queU conque g on élèvera d'abord à cette puissance le binôme simple s

. ± ^, parle procédé du n<> 413; puis, on ren^placera xpar lèpre- Tome II. ^

34 BBMABQVB8 8UB LA FQBM. DW BIHOMB.

mier terme du binôme donné, et a par le second terme de ce même binôme.

Soit proposé d'ëleyer le binôme 3û' + ^bc à la siztèâie pais* sance.

On aura d*abord

Remplaçant x par 3a', et a par %hc^ il ^iendr^^, ,, . (3û" + ^bcf =(3ay + 6 X a6c (3a')» + i5 (aôc)» (3a*)*

+ ao libc)* (3a»)» + |5 (a^)*'(3^/

+ 6 (ai^c)» X 3a* + (ai(f)«, ou(n°378) • ^\

(3a* + a6c)« ==a 7a9a*' + laèc X a43a**» + i5 X 4^*c*x8ia*

+ ao X Sô'^c» X a-, a® + i5 X i66*c* X 9^*

+ 6 X 3afeV X 3a' + 646V, on (3a* + iihc/ = 7a9a** + a9i6a*» bc + 486oa»^»'c'

+ kZioa^b^c^ + ai6oa*ft*c*

417. On trouve généralement plus commode de n'avoir à développer que des puissances de binâmes dont le premier terme est l'ututé.

D'abord, il est facile de voir qn« ^"^"^

donc si on pose — == i •,..».. (i),

on aura j:-+-a= j:(i4-«)>

çl par conséquent ( n* 377)

On trouvera, une fois pour toutes, le développement âeÇi-^-z)'^^ en changeant x en i , et a en z dans la formule du n^ 409 , ce qui d onnera

m m(m — i) m(m — i) (it?— a)

plMORST. !»■ LA FORM. DU BIN. POUR UN BXP. QUBLC. 35

formole dont on dédait la règle soivante pour former le développement 4e Japiii^ai^^e m d'un binôme doitl le premier tenue e^t ranité.

i^cifiy^ 4Bf^çLctioni - — , r— , , etc. , et posez,

tunité pour prêter terme du dés/eloppement demandé*

Multipliez^ é^e^unité par la première fraction , eê

puis par a; vous aurez ainsi le second ternie du dé^elop-

cernent. -

Multipliez ce second terme par la seconde fraction y

et puis par z j et vous aurez le troisième terme du développe^

ment j et ainsi de suite.

D'après les égalités (i) et (a), il est évident que pour revenir de

( 1+ 2 )"■ a ( X + a )", iV sujlfira de remplacer z par , et de

multiplier p€wx^. "