RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES

641. Pour résoudre une équation du premier degré à trois inconnues; il faut d'abord la ramener à la forme ax -j- bj -|- CK s=3 d; puis on la résout par rapport à l'une des inconnues, en opérant comme si tout le reste était connu, ce qui donne la valeur de cette inconnue en fonction des deux autres. On attribue ensuite à ces deux dernières inconnues des va^ leurs numériques arbitraires , que l'on substitue dans la valeur trouvée pour la première, et on a ainsi une valeur de cette inconnue, qui, conjointement avec les valeurs arbitraires attribuées aux deux autres , satisfait à l'équation proposée.

Sait Téqnatlon Sx + i^jr — az = a4.

Résolvant cette équttion par rapport à :r , on a

Il est évident qae Ton ne pourra obtenir pour x une valeur namérîque si on ne commence par attribuer à y^ et k z des valeurs

liSOL. hEB ÈqVkT. DU PASM. BtG. ▲ PLU4IBUKS UfCONlfUBI. 257

arbitraires : si donc oh suppose , par eiemple, ^ == 4 , z = 5, et

si on substitue ces valeurs dans celle de x , on aura

En sorte que le système de valeurs ar=3,^ = 4»«==5 devra satisfaire à Téquation proposée; et en effet, si on substitue ces valeurs dans Téquation Sx -^ ^jr — a« = i4 telle deviendra 6 X3 + 4X4 — «X5 = a4, ou a4 «= a4, équation identique.

Mais an liea de supposer ^ =3 4 , s =s 5 , on aurait pu faire toute antre supposition qui aurait donné une autre vakurdex,et par conséquent // existe id^ coin me au n® 607, une infinité de systèmes de valeurs de x, dey et de % qui satisfont a réqftatiom 6x -J- 4y — 3UJ = a4# €fà renoncé du problème dont elle est la tradition algébrique, d*où il résulte que ce problème est indéterminé. Comme au n® 608^ le nombre de solutions peut-être limité par certaines conditions de V énoncé , qui n* auront pu être exprimées algébriquement.

642. Quand on a deux équations à trois inconnues« on râmèno la résolution de ces équations è celle d'une seule équation à deux inconnues: pour cela, on résout les deux équations proposées, par rapport à une même inconnue, à z, par exemple, et on égale les deux valeurs de 1, ce qui donne une équation à deux inconnues^ quif étant résolue, comme il a été dit (n* 607), donne plusieurs couples de valeurs pour z et pour y. Ces valeurs de x et de y étant substituées dans Vune des valeurs de z en fonction de ces deux derrùères^ déterminent autant de vahurs numériques pour z, qui, conjointement avec les valeurs de x et de y, satisjbnt aux équations proposées. Dans ce cai , le prokléme qui a donné lieu aux deux équations est encore indéterminé.

Soient les équations

4a: -|- aj^ -|" * = aS, IX + 3;^ -|- 2z = a8.

Ces équations donnent

« = aS — t\x — %y ^ ToMB II. 33

258 R^soL. ras Éqvkr. su pim. dbg. a Piusisims ihcorhves.

et z = ■ " ■ .

Egalant ces deux Taleiirs, on a

aS— ax — 3jr

•5 — 4Jr — a^ = — ,

d'où il vient (n*» 607)

^ = aa — Sx,

Si on suppose maintenant que x= 3, il en résultera^ = 4; et par la substitution de ces deux valeurs dans Tune des valeurs de z, dans la première, par exemple, on aura 2r=a5 — ta — 8, oo s =3 5; en sorte que Tun des sfitèmes de valeurs qui satisferont aux équations proposées sera x =3, jr =4, 2 = 5.

Mais au lieu de supposer ;r =3,on pouvait attribuera x toute autre valeur, d*où il serait résulté pour^, et par suite pour 2, des va}eurs différentes de cdles qui ont été trouvées par la première supposition ; donc , tant que Von n*aura qtte deux équations à trois inconnues, ces deux équations pourront être satisjaites par plusieurs systèmes de valeurs, et le problême qui aura donne lieu à ces deux équations sera indéterminé.

643. Mais si à ces deux équations on en joint une Iroi'sième qui renferme seulement une ou deux des trois inconnues, alors il n'y aura, en général, qu'un système de valeurs pour les inconnues, et le problème sera généralement déterminé. Soient les équations

ax -+■ l^ -{- cz =? d, a'x+b'jr+cfit= d^.

Joignons à ce système une troisième équation mz=n: alors le système

ûw: + ^ + c2 = ^, afx + Vy + clz:=^df, mz = n ne pourra, généralement, admettre qu*un seul système de valeurs pour x^yeX 2.

BiSOh. DS8 ÈqtÂT, su PRBH. DS6. A PlfUSUUBS IHCOKNUBS. 259

Car Téqaation mz^^n ne peut donner pour z qu*une seule valeur

(n** 889) qui est , et cette valeur substituée dans les deux pre-

mières les change en

et

ax -{- by = d "^

et afx + Vy^= d'

en

dn

qui ne peuvent généralement admettre pour x et pour^ qu*un seul couple de valeurs (n° 629 et suiv,)

On peut aussi adjoindre aux deux équations proposées une troisième équation de même forme, que Ton représente ordinairement par ù!^x 4- ^ V + c"« = ^", et alors le système des trois équations

ax + ^ + cz r=i d^

aftx H- b'ff + c"z = d^'

devient aussi, en général, la traduction algébrique dHin problème déterminé. Ces équations étant résolues, donnent pour :r,^ et z un seul système de valeurs qui satisfont aux équations et à l'énoncé du problème qui donnerait lieu à ces équations, sauf les Cas d*exception analogues à ceux qui ont été établis pour un système de deux équations à deux inconnues.

Voyons donc comment on peut résoudre ces trois équations.

644. Pour résoudre un système de trois équations à trois inconnues^ on les ramènera d'abord à la forme ax + by -f" cz === â, puis , on résoudra chacune d'elles par rapport à une

250 B^SOI.. DKS tqUJLl, ou PBjn. D16. A PLtSUinit mCORHVBS.

même inconnue,' par rapport à z, par exempte. On égalera une des valeurs de z h chacune des deux autres ^ ce qui donnera deux équations à deux inconnues , que L'on résoudra par rapport à fune de ces inconnues, par rapport à j 9 par ëxempie, et on aura ainsi deux valeurs de y. Egalant ces deux valeurs, on aura une équation à une inconnue , qui sera té" quation finale^ et qui étant résolue , fera connaître x. Substituant cette valeur dans fune des valeurs de j en fonction de IL , on connaîtra y ; enfin substituant les valeurs de z et de j dans une de celles de z en fonctions de x et de j^ on aura la valeur de z.

Soient les éqot lions

4x — 3^ + a« = la , (1),

ax + i^ — 3» = ao (a)»

Ces équations donnent

% =z Sx — ^ — 5 . . . .' • . . (6).

Egalant la troisième valeur de 2 à cbacone des denx autres, on 9

la— 4x+3r , .

3^ — ar — 5 = (7)

2x+4r — ao et 3r-ar-5 = ^ (8),

ou 6x — 4^-^10 = «a — 4^ + 3^ . V. (9)

et gx — Sy — i5= «or -|- 4jy — ao ... (lo).

Rësohant ces deux dernières par rapport a jr, on troave

lox — aa jr = , .• 0*)^

HtML. DUS JÉ^I^AT. BIT PBIH. BBO. A PIVSIIITBS iSOOHlIirM. 2(^1

lO

Kgalani

ces tleuï

valeur*, on a

lojf— lî T^H-^

qui. élSEir rësoEuef donne

Subaïîïuaai cette valeur âans Tune des valeurs dej, danf la se-

conde^par eseraplc^il vkiit j =^ ;== 4.

Metlant Cïi place de .r clde r leurs valeurs 4 et 5 dam U troi* «iême valeur de z^ qui esl la plus simple, on trouve

Ou a donc le sjslème de valeur» ^=^5,j=^ 4, % =^ a.

Ces vatetirs deifranl ^a tu faire oux éifuatiQns proposées , et elles seront /ej sentes t^ui jouiront de cette propri^lé^

D'abord, la valeur 5 de X| tirde de Véquatlon finale (a) est la seule qui puisse satisfaire â cette équalion (n*^ 589). Cet lu valeur subilituée dans l'une ou dans l'autre des valeurs de jr doit donner le iséme résultat, puisque, tîiant tirée deTéquation (œ), elle doit satisfaire  cette équation, dont tes deur membres sont précisément les deux valeurs (11) et (iï) de^dont il s'agit.

Cela posé, lea valeurs jr ^ 5, j = 4 devront satisfaire aui équations (7) et (8), puisqu'elle* satisfont à (11) et (jî) qui sont déduites de ces deuK dernières, et elles seront les seules qui pourront y satisfaire.

De pluj, ces mêmes valeurs substituées dans chacune des trots vakurs de :: devront donner le même résultat, puisque les équations (7) et (8) expriment les conditions nécessaires pour que £ ait la même valeur dans les trois proposées. Il n'y aura donc pour $ qu'une seule et mfme valeur qui devra , conjointement avec tes vaUurs uniques Jt^^S, ^^^4^ satisfaire aux équations (4)^ (^) et ^6^f et pftr conséquent aux pra|>osées, dont cellcs*lâ sont des consi>-