tiUùL DBI ÉqOàt. DU PlIH. DkO. A PlDSlSITRS IHGOURUBS

quences, el qui, réciproquement, sont aussi des conséquences des équations (4), (5) et' (6) , ce qui est fficile à voir, en chassant les dénominateurs, et en transposant toutes Its inconnues dans le premier membre.

N. B. Ce qu*on vient de dire, relativement aux valeurs de or, dejr et de z, suppose que les équations ne sont ni incompatibles, ni des conséquences les unes des autres.

645. On peut encore résoudre un système de trois équations à trois inconnues par des procédés analogues à ceux qui ont été exposés (n^' GIS, 613 et 615). Nous allons appliquer successivement ces divers procédés au système d*équations que nous Tenoiis de résoudre par la méthode de comparaison.

MiTHODS 0£ Substitution. Soient les équations

aor 4" 4^ — 3z = ao (i 4),

• 3a: — aj^ — z == 5 (i5).

L*équation (i5) donne

Substituant cette valeur dans(i3) et (i4)» il vient 4^ — 3^ -|- a (Sx — 2^ — 5) == 12 et aj: + ^ — 3 (3x — » 2j- — 5) = ao ,

ou ioj: — 7j^ =3 22 (17)

et 10^ — 7x 3= 5 (18).

Prenant la valeur de a: dans IVquation (17), on a

et substituant dans (18), il vient

ior--7Xf -— )=^5,

PU Siy == ao4,

BiSOL. ras É^AT. DU PBBM. DM. ▲ PLVSISUBS IlfGOIfmriS. 263

d'où j^=3 4 ;., (20). t

Substituant cette valeur daos (19), on trouve

aa-f7X4 Jo^

Enfin, substituant les valeurs de ^ et de j^ dans (16), on a

On trouve donc ici pour :r, ^ et z les mêmes valeurs qu'au »• 644.

646 • MÉTHODE DE Bi&DUGTioN. Soît cncorc le Système

a^ + ^ — 3z = ao (24),

Eliminons d'abord z qui a les plus petits coefficients, et, pour cela, multiplions les deux termesde chaque équation parle produit des coefficients de z dans chacune des deux autres; nous aurons

i2x — 9y + 62 = 36 (aS),

iBx — 1 2^ *— 6z = 3o (28).

Ajoutant (26) et (27), et retranchant (28) de (27), il viendra

Dans ces deux dernières équations, nous allons éliminer^, dont lecoëfficient est Tuniié dans l'équation (29), et pour cela, nous multiplierons les deux membres de cette équation par 20, ce qui donnera

3aoj: — ao^ = i5ao,

et ajoutant celle-ci k (3o), nous aurons

d'où x = -—- = 6 (3i)

264 BiSOL. PIS É^kt. BO PBBM. Bl». A PLUlISnii IBCONHUES.

Substituant cette ytlenr dans (29), il vient 16 X 5 —^ = 76, d'où ^ «= 80 — 76 = 4 (3a).

Enfin substituant les valeurs (3f) et (3a) dans (aS), nous aurons

d'où

comme par les deux premières méthodes.

11 est facile de voir, par cet exemple , combien la méthode de réduction est expéditive, surtout quand on sait bien choisir Tinconnue que Ton doit éliminer.

647. MÉTBODi DBS iHDiTBBMilrÉBs. Soil toujours le système d*équations

4jr ~ 37- 4. a« = la (34),

aa: -f- 4^ — 3z r= ao .... * (35),

Multipliant ^a première par m, la seconde par /», et faisant la somme des deux résultats et de Téquation (36), on aura (4/71 + 2/1 -4- 3) jc — (3/71 — 4/1 + a) j -j- (aw — 3ii — i) «

= mm -|- 20/1 -|" 5 (37)-

Maintenant si on pose

4ot + 2/1 4- 3 = o (38) ,

et 3/» — 4« + a=3 0... (39),

on aura les conditions nécessaires pour que Téquation (37) se réduise à

(a/w — 3/î — i)a = I2WI + ao« -f- 5,

qui donnera

%éaou BBS tqcAT. bu num . »io. ▲ nvuEm» nNxmiUBt. 26S Substituant dans cette dernière les valeurs iw = — ^i el/i=:

' • tirées de (38) «t de (3q) ,

on trouvera 2 = a.

Faisant 4w + 2/1 + 3 = o (40)

«^ 2WÏ — 3/1 — I = o (4,) ^

r^qnation (87) se réduira à

— (3/w — 4« -f a) j- = 12»! + 20« + 5 , ^ui donnera

— 3/71 -|- 4^1 — a cl substituant dans celle-ci les valeurs /w = — . et « = —

déduite» de (40) et de (41) , on aura

FaîsaBi enfin — (3/w — 411 + 2) = o. .•.,.. (4a)

réquation (87) se réduira à

(4»t -f a» + 3)j: = lam -(- ao/« + 5, qui donnera

1 2/724-2 O/Z+S ar = ;

4»H-2/2-f-3 et remplaçant rn et /i par leurs valeurs déduites de (42) et (43) , on trouvera x =z 5.

On a donc encore le système de valeurs

^ = 5, j- = 4, «== a, comme par les autres méthodes.

648. Il est facile de voir que les diverses méthodes d élimina « tion qui ont été exposées pour deux équations à deux inconnues et pour trois équations à trois inconnues, peuvent s'appliquer ToMR IL 34

1266 Mscvts. MB i^pAT. ftv mil. ^wéé a M.I78. imxmnvBti

.nombre m d'équations qui contiendront le même nombre m d*iiiconnues.

Ainsi, four résoudre un système de m équations à m in^ connues, par la méthode de substitution, par exemple» on prendra dans l'une de ces équations la valeur d'une des inconnues^ en opérant comme si tout le reste était connu, et substituant cette valeur dans chacune des autres équations , on n'aura plus que (m — i) équations à (m — i^ inconnues. On résoudra une de celles-ci par rapport à l*une de ses in^ connues j on substituera la valeur troui;ée pour cette inconnue dans chacune des autres équations du nouveau système , et on naura plus que (m — i) équations à (m --^ 2) inconnues. On continuera de la même manière , jus qu à ce qu'on soit nrrivé à une seule équation à une seule inconnue , qui sera ê'équation finale, et qui fera connaître la valeur numérique de cette dernière inconnue. On remontera ensuite successif vement jusqu'à l'une des équations à2j à^, eXc* inconnues, qui ont été obtenues par les éliminations successrçes , et enfui à l*une des m proposées ce qui fera connaître les valeurs de toutes les inconnues qui auront été ékminées.