Soient les équations
ax +bjr -^ cz ^= d (i) ,
a'*+ Vy-^^ cff.= df (%) ,
a'^x^ Vfy^ cl's^ df' > (3)-
Quelle que 9oit la méthode qu'on suivra pour réioudre cessas*
tioBS, on trooTcra toujours les méinct valeurs d« :r , de j^^l de 2 ; UAais an lien d'employer littéralement un des procédés cUdessus exposés , OD pourra , pour rendre les calculs plus £Kiles^ mettra €leuae des équations, (1) et (a) , par exemple, sous la forme suivante:
«J? + ir = ^ — c% • (4) t
Considérant s comme ooe quantité connue, on détendra les va* leurs de or et de^ en remplaçant les lettres c et c' par «? «-— C9 et d' — c^z dans les formules (i) e| (a) du n^
On aura
ab'~afà
h'd~bd!Mpc*—b(c)z
ad — a^d\{cJc — flc')a
^-^ at^-^b ^'^-
Substituant ces valeurs dans Téquation (3) , elle ne renfermera pins que Finconnue z , et on en déduira
aya^'-^U^df\a'b'^d—a'bâ}^'\'a}^bdf>-^^^b'd ^^ ab'c"^~^l^fc'-\-atb^tc'-a*bc^f^aHé'-^uf^¥c Substituant cette valeur dans (6) et (7) , on trouvera dbfc"^db'fcf-+ dfb"c—dfbcff+d'fbc^^d^bfe ab'c^''-Hib^fcf'\-a'b^fo-^'bc*f'\-a''bc^^af'bfc ^''^
et
ad^cff^^dffç^+qfdffo^^'dc^'^'a^fdcf'^af'd'c
^ "^ ab*c^f^-^b^'d'\'a'b^^O'--a'bc^'^a^'bçf'--<i^*bfc
!HS8 miOTM. 918 itQVAT. Mr ras», sm. a Kvg. niMinme.
B.EttA:EQUE. Les valeurs de x^ de j et de z ont te même dé^ nominateur , et , pour chacune de ces inconnues j te numérateur ne diffère du dénominateur commun quen ce que tes coefficients de cette inconnu» qui se trouvent dans le dénominateur sont remplacés par les termes connus à^à' et ô!^ f dans les termes correspondants du numérateur.
650* Les vaieurs dei, de j et de z sont des formutes qui peuvent servir à trouver les valeurs des inconnues, dans un système de trois équations numériques à trois inconnues^ Soient let équations
4ar — 3/ + a« = la ....*.. (i i),
^x -f- 4^ — 3« «=3 ao (ia%
Sx — ay — a = 5 (i3)*
Si on compare les nombres contenus dans ces équations à eenx qui sont représentés par les lettres dans les équations formulaires, on Terra que , dans cet exemple, a =i i^ b = — ^^ c = ql , d = la, a' = a, i' = 4, c' = — 3 , €f^ = ao, a'' =3, J'' =
Substituant donc ces valeurs dans les formules (S), (9) et (xo) du n* 649, on aura pour la première
4x4x5-4x-axao4-ax-axia-ax-3x5+3x-3xao-3x4xia
4x4x-i-4x-ax-3+ax-ax2-ax-3x-i+3x-3x-3— 3x4xa
— 5i Substituant les mêmes valeurs dans la formule (9), on trouvera — a55
MSeVU. hEê tfO<^AT. VU mil. MU>. A PLVS, IHOOHHUJU. 2fi9
EnfiD, fttibstilyaot emcore les mêmes valeurs dans (lo)» on aura — ao4
Remarquk. On pourrait encore, àVaide des formules (S)^ (cj) et (lo) «/tf /i" 649, détertniner les valeurs des inconnues, si une ou deux des équations ne renfermaient que deux des inconnues. Cela serait encore possible , si une des équations ne renfermait qu*ane seule inconnue; maison conçoit aisément que, dam ce dernier cas, il serait bien plus simple de déduire la valeur de cette inconnue de l* équation même.
Si deux des équations ne contenaient qu'une seule inconnue, les Jbnnules du n® 649 ne pourraient plus être employées à la dèter^ mination de ces incormues. Si ces deux équations rertfertnaient des inconnues différentes^ chacune d'elles ferait cormaître la valeur de son inconnue , et en substituant ces valeurs dans la troisième équation, on aurait la troisième inconnue; mais si ces deux équa* tiens renferment la même inconnue, celle-là seule pourra être 4é^ terminée, si tant est que les équations ne soient pas incompatibles. Car si ces équations ne sont pas contradictoires , elles seront une conséquence Tune de l'autre, et, par conséquent, on n'aurait alors réellement que deux éqoatkos pour déteminer trois inconiaies.
651. Par des raisonnements analogues à ceux qui ont été employés pour deux équations à deux inconnues, on peut établir ici , pour un système de trois équations à trois inconnues, et en .général, pour m équations à m inconnues^ des théofèmes analogues à ceux qui ont été exposés (n^ 629 et suiv.)
Les propriétés énoncées (n® 659} font exception k ce que nous menons de dire. Dans un système -de plus de deux équations à plus de deux incormues , il peut arriver que les incormues ne soient pas toutes infinies ou toutes indéterminées^ Soient les équations
ax '\' l(y '^ cz =! d^ a'x + b^y + c'z = d\ a"x -h b^'y + c'fz = dff.
^70 DMCrSft. BES ÉQVAT. BV PRBS. DBG. A PLUft.* I^GOHSl^Bt.
Les valeurs des inconnues de ce systèine ont lootes le néme dénaminateur (n*^ 649^ rem.)^ en sorte que, si on représente ce dënominateur par D, on aura
on D = û (5'c"— 5'VO + û' (ô"c— Je") + a" (Je'— ô'c),
on D = i (û^'c'— «'c'O + b' (ac"^a"c) + J" (a'c— acQ,
oo I> = c {a'b^'—a^flf) + c' {al^b^-aV') + c'^ {ahf—a'b) .
Si on suppose que ft^c^ — J"c' =» o, et quei'V— * bc*' i=! o,
on en déduira c'' = , et par conséquent i"c — ■
= o, et l/y^c — . W'c' = o, d'où ô'c — bév=i o, ou Je' — ^ J'c=o; en sorte que le dénominateur commun D se réduira "a zéro.
Le numérateur de la valeur de jr se formant (n* 649 , nsm^ à Taide du dénominateur D, en changeant seulement les coefficients û, d, a" de X en rf, df^éÛ\ il sera donc
^(£/c" -- We) + £^ (6"e -^ Je") + €/" (Je' — J'e), ç*est-fà»dire, zéro, et on aura par conséquent
Mais pour-^ et z^ les oniiiémiefirt «• ae réduiront pas k ftéro, à moins que Ton n 'établisse de nouvelles hypothèses. Car pour former le numérateur de la valeur de j^, par exemple, il faut changer 6, b\ J" en d^ dJ ^ dJ\ et on aura pour ce numérateur
d{a^fcf ~ a'c^) + df {acff — a"e) + d^f {afc ~ at/), qui ne peut devenir nul que par les nouvelles hypothèses û'V —• aV = o et oe'' ^-* aJ'c = o, d'où on déduirait a'c — oe' = o.
Ainsi, a moins que l'on n'ait les nouvelles relations a"e^ — a'c" = 0, ac" ^-^a^^c = o, la valeur dé^ sera infinie, et il en sera de même pour a, à moins que Ton n'ait a'J"— a"ô' ==0 et û"J — fl3" = o , d'où ay — ^ a' J c= o.
n résulte donc de là que lorsque le nombre des équations surpasse 2, les inconnues peuvent ne pas être toutes infinies, ou toutes indé' terminées.
mseOSS. HBS ÉQUAt. hV PRHI. DM$. A PLUS, ihcouhubs. 271
0S2. «S/ on a m équations ^ m -f- n inconnues, te problème qui mura donné iieu à ces équaiioms sera indéterminé.
Car on pourra toujours tirer des/» équations la valeur desiTi pre« mières inconnues en fonction des n dernières, et par conséquent on ne pourra obtenir de valeurs n u mer îq^ues pour les//i premières inconnues, qu*eu attribuant des valeurs arbitraires à chacune des n dernières. Or il est évident que pour chaque système de valeurs arbitraires qu'on attribuera aux /? dernières inconnues, il résultera des valeurs différentes pour chacune des m premières, et que tous les systèmes de valeurs des (//i-j- /z) inconnues satisferont aux équations proposées, et à Ténoncé de la question.
Au reste, le nombre de solutions pourra être limité par certaines conditions, comme dans les problèmes à deux inconnues.
655. Si te nombre des inconnues étant in, le nombre des équa * lions est m -|- n, le problême sera parfois possible, parfois indé^ terminé, et quelques fois impossible,
1® Si les valeurs des inconnues qui satisfont aux m premières équations satisfont aussi auùL n derntèréSj le problème sera éi^idemment possible»
a* Si parmi les (m -^n) équations, il s'en trouve plus de n qui ÉOhemdes cons^uences des autres, i\ y aura réellement moins d'éqwations qne d'inoonnacs, «t par conséquent (n^ 652) le problème sera indéterminée
3«® Si lesiksleurs qui satisfont aUx m premières ^nations ne sa» tis/bni pas à toutes les auttes^ il y aura dfiaéquatiopjS qui se|:;Qa^ incompatibles, et par coMéquent le problème sera impossibUi
Il reste maiottnant à lairt voir que eet trois fiircoostaoces peuvent se présenter.
Supposons d*abord que fou ait un système de m équations à m inconnues, qui admettent un système de valeurs r == ce ,j^ =: ^ , z = 7/, etc, on pourra toujours former une (w-j-i)"® équation qui •era satisfaite par ces mêmes valeurs.
Pour cela, dans Féquation formulaire ax -^ by-^-cz-^
= ky on remplacera les inconnues x^jr^ z, .' , par les valeurs
272 mnccBB, bes Èqvàt. bo prbv. Die. a plvs. mcomxvn,
a^ €^ y, * de ces incommes dans les m équations données ,
et on donnera ensuite des valeurs arbitraires /i,j9, q^ aux
coëffidents a^b^c, ..... ce qui fera connaître la valeur à donner au nombre ^.
La nouvel le équation sera donc
n^ + p^-^-qy + ^ ^.
ou nx -|-/?^-[- qz-^ = it,
d*où
/i (a: — et) 4- p (r — 6) + g (z ^ 7) + etc . . c . . . . =^ o , équation qui est évidemment satisfaite par le système de valeurs
On pourrait former de la même manière une (i7i-|-2).>"^ équation, une {m + 3)."" et ainsi de suite. Donc i.® dans un système de (m-|-n) équation à m inconnues, il peut arriver que les valeurs de Sydey, €le z, etc. ^ qui satisfont aux m premières satisjassent aussi aux n det mères, et dans ce cas, le problème est possible.
a.® Si pour former les nouvelles équations, on donnait aux coefficients a, &,£,... . des valeurs qui fussent les mêmes multiples des coefficients correspondants de Tune des m premières y toutes les nouvelles équations seraient des conséquences de celle-là; et si parmi les m premières, il s*en trouvait une seule qui fàt une conséquence de Tune des (//t— ^ i) autres, il n'y aurait réellement que (tn-—* i) équations à m inconnues, et par conséquent le problème serait indéterminé.
3®. Enfin , si on donnait à Tune des nouvelles équations pour second membre un nombre k' plus petit ou plus grand que na
H~/^ -^ ^ -^ onk^ il est clair que cette nouvelle équation
serait incompatible avec les m premières, et que le problème serait impossible.
C8SP0«« MB fiXPlXSS. rORM OIS IMCOMOIt. 273
MBMÂEQUBS SUR LA COMPOSITION DES EXPEBSÇIONS FiMlMULAiaBS DES INGONNUBS.
'^61U. Dt réifûatioii fonnolaire do premier degré k oae seule
inconoae ox = & , on tire x «a: ;
d'où Ton voit que fa valeur de Vinconnue est une expression fractionnmre qui n pour dénominateur le coefficient 9l de Vinconnue, et pour numérateur le terme connu b.
Les équations a* + i^ = « , a'x + k'y =3 d donnent (n« 626)
•et 7
ab**'^b àb ^~^a'b
que Ton peut écrire ainsi
cb''^*bc^ ac''—ca^
et^ 6=
En examinant ces nouvelles expressions, on voit qatpour oh' êenir le dénominateur commun M -^ ba^, il faut former les deux permutations ab et ba des deux lettres a e^ b (n^ 527) , les sé^ parer par le signe — , el dormer un accent à chaque seeonde lettre.
Le numérateur de la valeur de chaque inconnue se forme du dénominateur, en changeant le coefficient de cette inconnue en le terme connu, sans rien changer aux accents, ainsi que bous Tavons déjà remarqué au n® 6^6^
Les valeurs trouvées (n^ 649) pour les inconnues dsns Us trois ToueH. 35
Vk C0MP08. BBS BXPBVS8. PQBM. DM IffOOmiPBS.
éqaatioDS ax -^ âjr -{- cz =3 d , a^x + b'y + Jzxs=i ^ ^ af'x + b'^y + c'^z = d" peuvent s'écrire de la manière soÎTantes db'c^f—dc'b^'^ cd^h^'—td^c"^ hc^d'f^cbfdff
adfc'f—ac'd!'-}'Ca'dff—da^c'f-^dc'a"—cdfa" ^ ^ abfc'f^ac'b'f'\-ca^h'f—ha'c'f^bc^a"-^b'a" ' aVd^f—a^b'f+dafb^l—bafdl'+bdfa^f^db'JI *^ ab'c^f—ae'b^*+ca'b^'^~4>afc^'^bc'af'^-^b'Jf * Od toit done que pour obtenir le dénominaieur eomnwn des expressions formulaires des inconnues , il faut former les S permutations des 3 letttes a, b, c (n* 327) ^ les écrire à la suite les unes des autres p en leur donnant alternative' ment le signe -i-et le signe *^, et donner un accent à chaque seconde lettre et deux à chaque troisièmi^.
Quant au nunkérateur de la valeur de chaque inconnue , t7 se forme encore du dénominateur, en changeant le coefficient de cette inconnue en le terme connu, et en conservant les accents , ainsi que nous favons remarqué au n^ 649. Pour 4 équations à 4 inconnnes
ax -^ by -{- cz -}- dt =t e , a^x + by + c^z + dU == e^ , affx+ by+ c"*+ d'ft=^ e" , a"'x-^b'f^r+ c"'H'dffft=e'f' , On intfodidra le quatrième coëffkient à à touêes les places , em commençant par la droite , dans chacune des 6 permutations + abc , -^ aeb , -|- cab , -^ bac , -f> bca , -*« oba des 1 pre^ mieres lettres a , b , c, e/i ayant soin de remarquer que pour + abc -v /■ + abcd — abdc + adbc — datKS -*. aeb j l — acbd + acdb — adcb + daeb + cab / ! + cabd — cadb + cdab — dcab - bac [ ''^'■^''^^^ j ^ bacd + badc ^ bdae + dbac ^ bca \ f + bcad — . bcda -h bdea — dbai cba y > *-^ cbad + cbda -— cdba + dcba.
OCMDOt. Mi 9XVUU. FOUI. ftlS UOQMKVBf 375
Om éerim ces 94 permuiaiUmi des 4 ieUres tt^h^e^à sur wm wnéme ligne , chacune avec son signe , puis on affectera chaque se^ eonde lettre d'un accent, chaque troisième lettre de deux accents^ et chaque quatrième de trois. On aura ainsi le dénominateur c€»nmun des valeurs de x ^ de j^ de z et de t.
Pour former le numérateur dex^on écrira de nouveau le déno^ minateur, tm changeant tous les a en e ^ sans rien changer aux accents.
Pour 7,0/1 changera lesh ene^ pour b , on changera les cène ^ et pour X^lesàem^
Pour 5 équations à 5 inconnues, on ferait passer le 5."** coèffl" cient e par toutes les places dans chacune des a 4 permutations des 4 premières lettres a , b , c , d , et quant au signe dont cha» cune des permutations de 5 lettres devra être affectée , on le re^ connaîtrait par unprocédé analogue à cehU que nous venons d'em^ ployer pour les permutations de 4 Uttrts; on affecterait chaque seconde lettre d'un accerU, chaque troisième de u , chaque qua^ triême de 3 et chaque cinquième de 4* Et ainsi de suite*
Les procédés que nous Tenons d'indiquer sont justifiés pcHr les ▼•lents tronvées p^r les intonones pi^r la résolution même des équations , lorsque leur nombre ne surpasse pas S. Pour un plus grand nombre d*éqaations^ on pouiraît encore employer la résolution de ces équations pour démontrer le procédé, mais ce moyen serait eitréroement long et laborieux ; c'est pourquoi nous renver-> rons à la démonstration donnée par M. de la Place , dans les mé* moires de TA^cadémie des Sciences, année 177a. Cette démonstration nous a paru trop compliquée pour être donnée dans ces éléments.
27(( BiSOL. ]>l$ tfÇUAT. BU SEC. BB6. A iFin iRcoinnni.
