LIVRE TREIZIÈME
Équations du second (kgré.
BiSOLVJlOn DBS ÉQUATIONS DU SBCOUD DEGEÉ A UNB 8BULB IlKK>lflfUB.
658. Pour résoudre une équation du second degré à une seule inconnue, qui ne contient pas la première puissance de cette inconnue, il faudra d*abord la ramener à la forme x' ssa^ et pour cela, après avoir fait disparaître lesdénoiiiiDatears,s*il s'en ti-ouve, oo fera passer dans le premier membre tous les termes affectés da carré de l'inconnue, et tous les termes connus dans le second ; puis après avoir fait la somme algébrique dans chaque membre, <fti divisera de part et d'autre par le coefficient de x*. Extrayant ensuite la racine carrée de chaque membre, on aura (n* 125, 6.® récip.)
j: s= it \/a ,
formule qui contient toutes les solutions de la question dont l'équation proposée est la traduction algébrique.
BiaoK. Mt É^às. WB SIC. BM. A mi ncoHmn. 277
Soit réqaation 3jp» — 14 =sr x* -f 70.
On aara snccetsiTement •
aïo
aïo
aSa
X =» zfc v/36
L'éqoation proposée a donc deux racines, qui sont
dr s=5 6y X «SI — 6*
Cfaacane de ees taTeors de x sitisftiit ëvideniiii^t à lallation jt* =s 36, et par conséquent à la proposée (n® 586, rem. !i)«
RsiuaQus t . De mette q«e la raehie carrée de 36 est ±6, cAU de x^ doit^étredb x $ es soHe qnt aoni a^iews dé écrire
dix«±6, d*oii il serait venu
UêS^ en examinant les deux dernières de ces 4 équationa, on voit qae si on diange ks sîgaês (n® 589 , râm^), elles deviennent -^xs=s + 6, el-|*^«»'-*-6 ; lesdenx dernières éqn«tÀons reviennent donc aux deux premièi^, et e*eiit pourquoi il est imiAUe de fxire précéder la racine du premier membre du double signe ih«
RsxARQUB a. Il peut arriver que, après avoir. ramené Téqualion à la forme x' 1= a, le terme en x* soit négatif; dans ^ oas, 0/1 changera les signes départ et d^autre, et on terminera comme ci^ dessus^
Soit réquation 4^' + i5 «= 7^* -j- 63»
KiiOlr.
»Et É^kt, 99 tf€.
DM MM^HW.
On
aura succetsivement
Changeant let
«ignM, il Tiendra
d'où X «s ±1 v/ — i6 .
656. Lorsque, comme dans l'exemple précédent , on est conduit à extraire la racine carrée d'une quantité négatii^e , on peut conclure que le problème qui a donné lieu à f équation est impossible»
Cur une quantité pégutiT* n« peut a^air 4e raôna ourrëe (n* 123, %\).
On ne doit peu, néanmoins, regarder comme inutile la consiéé' naki^ des racines cannées d^s gmnêkêés mé§gmtifHSi U arriT«> par fois, qn'nne qocatign» qao i qtt t {iMsiJbk» »'a<)aiet de solution q«'i l'aide de pareilles eipretsions^ et cet eipressiont étant combinées d'après certaines lois , on Toit disparaître Fabsurdité et on obtient un résultat réel.
Les ei pressions algébriques qni contiennent d'une manière quelconque la racine d'un degré pair d'une quantité nég^KiTe , se Comment quanti^s imaginaires ; il serait peut-être plus esact de les noosmer expressions imaginaires, ou symboles imaginaires^ ^puisque ce ne sont pas des quantités.
RsMAmQUB !• Les racines imaginaireis satisfont à Véquation d*où eilet^rdpienmemt,
GsRe équation donne (n"* 611»)
ar«=5+ y/— .a ,xm^^\/^a .
BiftOt. M8 iQUAT. MT tIC. MO. A VSI IRCOflinni. ^4
Si on substitue la valêor positive -j" \/^ --- ^ ^^^^ réquation proposée, on aura
oa (n* 101) — az=:^^ a y
équation identique.
Pareillement, si on substitue la Taleor n<^gativ< — ^— «4Mif l'équation or* = — a^ elle deviendra encore — a = — «, puisque
(n« 123, 6<».) on a nécessairement ( — \/ — a) = V+ \/ — «y ,
Resaequ£ 2. La double valeur x =: it \/'— 16 trouvéc(n* 655, /ejB»« a), peut sf mettre sous la forme or s=a zt 4 \/— i •
Car \/— 1 6 = v/i6 X — x
ou (n^ 334)
V/— 16 = V^iô X V/— ^
Tïous allons maintenant passer à la résolution de Téquatioa complète du second degré à une inconnue, et pour arriver immé* diateroent à des conséquences générales, dods traiterons d*abord réquation formulaire de ce degré (n^ 583), qpe nous mettrons auparavant soiu la forme x' -f- px -f ^r = o , en divisant tons les
termei par tf, et en failant easnite -— - =/> et — = q .
C?37. Soit réquation x* -f />j: + ^ 3=3 o (1) •
Faisant passer le terme connu ^dans le second membre, réquation deviendra
Hoû» temarquérônd dVkbord que les deut termes dn preilrîer ««kibft se som antre diose que les d^nt premiers termes du carré
386 BÉSM. »M i^AT. M SIC. M4» ▲ VU IHCORHOl.
d*nn binôme, dont \t pfemier terme est x, et dont le second ternie
est ;car (n? 151, i*".) on a ( x ^ ) ==:x*+P^H
% va/ 4
Donc si on ajonte à chacun des membres de Téqnation x^ -|- pjc
P^ K3 — ^ la quantité , le premier membre deviendra un carré
parfaitietonaura
P* P^ JT» + px -I = q,
on
Extrayant la racine carrée de chaque membre « il viendra
d'où (no 588)
en sorte que Ton a les deux valeurs
a les deux valeurs
Ces deux valeurs satisfaisant a Téquation (3), elles ne pourront manquier de satisfaire à Téquation (a), et par conséquent à la proposée. On peut encore s*en convaincre en substituant dans l'équation (i) les valeurs (4) et (5), ce qui la réduira kg = ç, équation identique. De là on peut condure que toute équation complète du second degré à une inconnue a deux racines, ou admet deux valeurs pour l'inconnue . Il est d'ailleurs facile de voir qWH ne pemt
^ ^n avoir d'autre, puUqcié d'»prè« l'équalion (a),« 4- • — ^^««t
la racine carrée de — q, l'équation (3) doit donner toutes
les valeurs dej:, et que (n* 589) celte équation ne pent avoir qae les deux racinea (4) et (5).
^ ' ' ' 658. On pourrait demander comment il arrive qu'une éqna~/ tion do second degré è une inconnue admette deux racines, ou deux valeurs pour cette inconnue.
Pour expliquer ce fait, nous remarquerons qo*un« équation est toujours la traduction algébrique d*un problème qui, en termes gé« néraux, peut être énoncé ainsi : .
7 Toui^er le nombre, ou tes nombres qui, combinés de telle manière avec telles quantités connues, donnent tel résultat.
Or si l'énoncé du problème renferme deux quantités inconnues, il arrivera de deux choses l'une : on cet énoncé n'indiquera aucune relation directe.entre les deux quantités chercbées, et alors il faudra les représenter par des lettres différentes, ce qui conduira aux équations à plus d'une inconnue; ou bien les deux quantités cherchées seront fonction l'une de Fautre, et alors on pourra encore les représenter par deux lettres différentes , mais on pourra aussi se contenter d'une seule lettre, comme dans Texemple suivant :
Trouver deux nombres dont la somme fo/Yp, et dont le produit soit q.
Si on représente par x le premier de ces deux nombres, il est évident que, d'après les conditions de l'énoncé, le second pourra
être représenté parp — j:, ou par — * .
Admettons donc que les deux nombres cherchés sont xeXp — x. La seconde condition du problème donnera l'équation x (p '^ x) = q^onpx — JT* = 7, ou j:* - — ^^ + ^ = Oj ^^ comme d'ailleurs on ne pent écrire algébriquement que ^ est plustôt le premier des nombres demandés que le second, il faudra nécessairement que l'équation x^ — j^.r -|* ç = o les fasse connaître tous deux. Donc Tome II. ' 36
282 BiSOI.. BXSi^AT BV SBC BM A OU OMOSIRrB.
si on prend Ton des nombres troairés par la résolotion de œlte équation pour Talenr de celui qui a été représenté par x, l'autTs
sera la valeur de celui qui était représenté par p — ^r» on par — •
Mais réquation générale dn second degré ^' -j- /^^x- -f- 9 =3 g n*est autre chose que la traduction algébrique d*un problème de cette espèce. En effet, si on représente par x^ et x^' les deux valeurs (4) et (^) trouvées pour x au n* 657, on aura
et
Ajoutant ces deux valeurs, on trouvera x' + x^t =^—pi et si on les multiplie, il viendra
-=(-^^i/Fo(-f-i/r')
=?-fi/^'^vr'-(i/f^)(i/f^
On voit donc que la somme des deux valeurs de x trouvées au n^ 657 est — p , et que leur produit est ç , ou que Féqualion x* J^~px -{-q^^oe^lla traduction algébrique du problème : trouver
BÉSOt, ^MÊ tqiOÀX, »U SIC DM. A VU mcoNKiri. 283
€§0mx nombres dont la somme soit -^ p , ^^ dont le produit soit q. £t en effet, si on met ce problème en équation comme nous l'avons fait lont*à Theure, c'est-àdîre, si on représente le premier nombre par x^ lé second sera — ;' — or , et par conséquent 6n aura pour éqiiÉlion x (— • p — *ar) = q ^ on ^^ px -^ x^ == q , ovL x^ 4" /^^ 4- ^ S3S o. Donc enfin Féqnation x^ + p^ + q acfaaet nécei^ saîreraent deui racines.
BEMAm^UB 1. 11 résulte évidemment de ce qui précède, que, dans toute équation complète du second degré à une inconnue, ie multiplicateur p de i est la somme des deux racines prises avec des signes contraires, et que le troisième terme q de V équation e$$ le produit de ces mêmes racines; ou ce^ui revient au même : «S*! un trinôme du second deçré i* + px + q est égal à zéro , il eacisU i4H/tfours pour x dmm valeurs , dont ia somme est le coefficient p de x pris avec un signe con^ iraire , et dont le produit est le troisième terme q du tri-nôtne.
Remarque a. Dans la question précédente, on pourrait repré«
•enter la seconde inconnue par , et alors par la condition que
q la somme des deux nombres cherchés est — - p, on aurait x + --^
s= — p • d'où il viendrait j:* -|- 9 = — p jr , on x* + px + q = o.
Rew ABQUi 3. On pourrait encore représenter une des inconanes par X et Tautre par y , et alors on aurait les deux équations
orjr c=t q ,
dont une seule est du second degré (n^ 580).
La première donne ^ =: — - p — x\ substituant cette valeur dans la seconde, il vient 'x{ — p — ^)==^»
7H tiÈBOL, MS Ét^OAT. 3V SBC. DCO. A UIIB IlfCOIfIfITr.
oa — x' — px = 7 ,
€>« ;r'-[- j?jr -j- ^ = a.
DoRC tm^ équation camplèU du second degré à une inconnue peul être considérée comme le résuUnt de l'éUminaH^n entre deum équaiions , dont l'une exprime le somme de demc nombres, eê l'autre leur produit» Mlle est f équation finale à laquelle conduit le système de tes deux équations, et l'énoncé du problème se trouve éerii algSriquemeut dans cette équation finale^ qui renferme les deux conditions du problème, tandis que ckatune des équations primitives x + y == — p et ly :=s9q nen renferme quune*
RBiTAtQUs 4* Lcf relations jp' -{^ a^^ ^^ -^ p et x'xP s= q donnont éTÎdenuBtiit les eonséquenees fuiirantes:
1.® Si une équation du second degré à une inconnue na pas de »*** terme, la somme dès deux racines est égale à zéro , ou , ce qui revient au même , dans toute équation de la forme i* + ? «=" 0| i!6.f deux racines sont égales et de signes contraires.
2.® •Si le troisième terme q de l'équation x* + pi + q = o est zéro , il y aura nécessairement une des racines égale à zéro , et réciproquement,
3.® La seconde racine sera aussi égale à zéro , si on a en même temps p c^s o.
659. Si a est une des racines de l'équation x* + px -j- ^ =3 o , /« premier membre sera divisible par le binôme x — ^ a.
Car a étant racine de Fëquation :r' 4" P*^ + 9^ = o» ^'^^^^ équation devra être satisfaite en y mettant a au lieu de x-y ainsi » on doit avoir
a^ +pa '\- q =0, d'où il vient ^ = — a^ — pa.
BiSOL. »Bt AQVAT. m tfC. »ltf. A 0MB IKCOIfRtB. 285
Remplaçant q par cette Taltar dans la proposée , on aura x^ + jtx -^ a* — • pa =3* o , on jf* — «' + f (jf -— a) c=« o ,.
o» (j + a){x — «) + p(jc ~ a) = G ,
oo (jT -{- a 4* r) (^ "^ ^) ^^^^^ ^ »
dont le premier oiembre est éYÎdetnmcBl divisible par jp *-^ a.
Remarque t. L-équation (;r -f- a 4- f) (' *~* ^) =" ^ justifie
une vérité déjà démontrée (n^ Q58 , rem, i) , savoir : que la somme
des deux racines de Téquation complète du second degré est ^-«p.
Car réquatioo (j: + a -f f;)(x •— a) =» o, peut éire satisfaite
de deux manières: par la condition jr — a bb o, d*où il tient
^ir =3 a , ce qui est la supposition même ; ou par la condition
jr -|- « + P *= ® » ^*®^ ^ vient x =a — * a — p. En sorte que
si a est une des racines , l'autre sera -^ a — « p ; et on voit que la
somme a — a —^ p de ces deux racines est *-^ p.
Hema&qoe %. Si a e/ b $imt les deuoD racines de téjquation x' + px + q =s G , /e premier membre sera le produit des deux binâmes x -^ a et x — b.
Car on a (n"" 61^8 ^rvm. i)
d'où il vient a -|> F *=* *~^ ^ >
et comme
:r* + pjT + y «. (^ — «) (j: + a + p), on aura aussi
x^ ^ px + q ^{x — a)(x — 6).
