Lorsque q est positif , les racines sont

HlfCOW. M8 ÉqOkJ, Ml SIC BBO. A VBB ITCÛMVI. 292

et il se présente nécessairemefit trois cas à examiner» savoir :

p* i.^ Si on a <i < — , («# deux racines x' et x" ieront

réelles f e^ dtf même signe , ^tit «era contraire à celui de p dans féqtuition proposée.

F" Il est d*abord évident que la quantité *— — « ^sera positive, d*oÀ

il résulte qne :r' et x'^ seront des quantités réelles.

En second Heu, I / ^ ^ étant < 1 X -—ou que— ,

les résultats q= H 1 X — — ^eizp -IX — — ^

auront un signe contraire à celui de p.

p* a.o Si q = — . , les deux racines \' et x" seront réelles» égales , et d'un signe contraire à celui de p dans l'équation proposée.

Car dans ce cas , on a ar' = rp — et a:" = zp — , puisque q

P^ étant égal à — , le radical se réduit à zéro.

3**. Enfin fSionaq > — , les deux racines seront imaglnaires.

Car la quantité ^, qui se trouve sous le radical , est né-

galive.

99* IMtCBtf. 9EB É^AT. M SIC. »M. A 6IS UROHimi.

Rkmaequb I. Noos aTons fait voir (q<» 658) qoe rëqaatioo x* + px + ^ C3 o est la Cradoction algébrique du problème : trouver deux nombres dont la somme soit — p^ et dont le produit soit q . Si on représente ces deux oombres par x' et j:^, et leur différence par df ou aura (u^ S91)

et par conséquent

oo ^ «» -^ ,

quantité évidenuient plus petite que ^— ; d où l'on voit que tant

qu*U y aura une différence quelconque d entre les deux nombres

x^ et x", iBitr produit sera toujours plus petit que — .

Maintenant, si on suppose que ^=^o, ou ce qui revient au même, que les deux nombres x^ et x" doivent être égaux, on aura x' x*'

on ^ s== j d*où il résulte que le produit des deux parties d'tme

somme sera le plus grand possible lorsque ces dêusc parties seront égales entr'elles.

On dit alors que le produit est un maximum,

Remaequb a« Les racines x^ et x" seront coramens^rablet lors-

que la quantité dz q sera un carré parfait ; dans le cas con-

traire*, cèS deux racines seront des nombres IncommensaraUes (nM2,w/2.)

667. Si on résout Téquation ax^ '^ bx -{- c =3^ o^ on trouvera

l»Mttimt. OIS Éqvàt. BU sbc^ >i6. a vib iKcomivB. 295

ou (11*» 5B0)

d*où il viendra

Sopposops maintenant :

!*• Qoe â =» o ; ces Taleors deviendront

Ponr interpréter la racine x' qui se présente sons la forme de rîodéterminéf il laot intfodnire Ja oendition ^ <=» ^éêuiUèqoa^ lion ûj:' -f- ^* -|- c =s o, ce qui la réduit 9 Bx -^^c 3=0, et d'où il vient

qui est la véritable valeur de x' =» .

Quant à la valeur j:'' z2 — -— qui se présente ici sous la forme

deTinfini, elle peut être considérée comme une réponse à la question dont réquation ax^ -(- Bx + ç =^ oest la traduction ^Igébirjqoe, si, toutefois, cette question est susceptible d'admettre des solutions infinies. Do plus, ii esta f emar^uer que U déoomÀiiiitieBr ^/y> pouvant £trç regardé ici comme la limite des grandeurs décroissantes, soit positives, soir négatives, il i*en suit que la valeur infinie de x^' doit avoir le double signe +.

296 M0CMB. MM ÉQUAT. MT SIC. »W. ▲ UU iMOnHIS.

Donc, dansie cas particulier a = o , Véquaiitm ai* -h bx -+c = o iwfmef réellement trou valeurs pour %, qui sont:

x= ,x=4- QC,x = — 00. *

tandis que, généralement, il n'y en a que deux (n* 657).

Pour s'assurer que ces trois valeurs conviennent véritablement

à l'équation proposée, on divise tous les termes par x*, ce qui

donne a + -^ + -^ = o, ou a = -— =^ qui.danal'by.

pothëse a c= o devient ^^ = o. U s'agit donc de voir si

— hx^c les trois valeurs de x peuvent rendre nulle la quantité — — •

D'abord, la valeur x = étant substituée dans j —

j^^ijjl^ dont le numérateur est évidemment

égal à léro. , En second lieu, si on met la quantité — ^^ sous la forme

"^^ !L ou ^^^^ ' -^ • cl »i o° si^^l»« P^^""^ ^ allerna-

^a jf« * X ar*

Uvement + OO et — » , on aura — , ou (u*» 302 . 40)

— h c .— o—o, et , ou 0—0.

a* Supposons que l'on ait en même temps a= o, ô = o.

Les racines or' = ®^ -^

aa »«

9m i^AT. MF tiG. MO. k miB iHComivi* 297

o devi^ûdroot tontft din* -'— , et si on introduit U double h jpo^

tbè«e a »9 o, 6 :sa od^ttt T^uation ax* -4. ^or 4. c s=9 Oiclleie

récloira i c <=> o

Il faut donc recourir à ua autre moyen pour découvrir les vraies

"v^aleurs de x dans Téquation proposée.

Pour cela, on posera x = — , ce qui changera Téquation ax*

a b -^ bx -{- c =: otn 1 -^C=:0, oufl-f- ^ + ^J*=o,

qui, dans la double hypothèse a=: o, 6=0, se réduit à cy^=^ o, d*où il vient ^ =xn ± o. Substituant cette double valeur dans la

relation x = — , on aura ar = db ; d*où il résulte que les

deux valeurs -e! et-x}^ dex sont infimes et de signes contraires»

3®. Si on suppose à la fois <s^ ss o, & ss o, c == o, les valeurs de X seront entièremenl indéterminées.

Car les deoai équations ax^ 4* bx '^ c ^^ o tl a '^ by '^. cy* = o se réduisent è o =3 o.

4®. Si on suppose 6 =5 o, seulement, Féquation ax* -f- 5jr -f c

= o deviendra ax* -}- c &= o^ d'où il viendra jp «s ib 1 y^ — — ;

c*e8t-à»dire, que les deux racines de V équation seront égales et de signes contrairesj cooMne nous Tavonadéjà trouvé (n^ 6^, rem. 4» i^*)

5®. Si on suppose c =2 o seulement, l^quatiqu oar* -|- J^r + c = o deviendra ax^ -j- ^ar = o , qui donnera *' =3 o et x'^

b =r. — j en sorte qu^un^ des racines sera nulle (n® 6B8, rem, 4» a®.)

6®. Si on suppose en même temps ^ = o, c = o, Féquation se réduira à ax^ = o, d'où il viendra j: = ih o (n® 688, rem. 4, 3**.)

7®. Enfin , si on suppose en même lempj « = o^ c = o , on Tome IL 38

!298 OIKVM. »Bf ÉQVATé 9V êt€. »B6. ▲ VHB IHOORVVB.

trouvera ^ = — et x^^ = ■ »> La première valrar est Yérlo o

tablement ^ = o, comme on peut le voir en faisant dans l'ëqoa-

tion or* + ^o: + c = o la double hypothèse a fe= o, c = o, ce

o qui la réduit k bx = o^ d'où x = — = o. Quant à la a"* va-

—a* leur x'^ =s — , on trouvera qu'elle est j/' =3 dz oo , par un

raisonnement analogue a celui de l^

Remabqtie. Pour interpréter la valeur x^ = qui résulte de

rhypothèse a = o (n« 667, i".)> "oo* avons employé un procédé différent de celui qui a été indiqué (n® 502, 7®., rem.), parce que

dansTexpression ' = on n.*aperçoit pas, a

priori, le facteur commun aux deux termes de Texpression fractionnaire , après la suppression duquel la supposition de a s=t o

o fait connaître la vraie valeur de x^ = — .

Pour découvrir ce facteur commun, on multiplie les deux termes

de la valeur de x^ par — b — \/ ^ "" 4^^ » ^® V^^ donne

ou (n*» iSi, 3^)

i» — (è» — 4ac)

ar' = ■

^a{^^b—\/V—kac)

nunttei »n uaoten. 299

On voit maintenant qu'il y a un ^aeteor oamomn %a que Ton peut supprimer, ce qui donnera

et si on fait a = o, on trouvera

2c ac c c

Tj — aj — 6 b

comme i*'

PROBLEMB DES LUMIERES.

668. Problème 5. Trouver sur la, droite qui joint deux lumières A ei B , dont la distance est âj le point G qui est également éclairé par chacune d'elles.

Si on représente par x la distance AC, la distance BC sera d — x^

et si on représente par a et 5 {.es intensités des lumières A et B à

Funité de distance, on trouvera Tintensité de la lumière A à la

distance x par la proportion (*)

a X • i al. • a . — ,

C) On suppose connu le principe de physique que les intensités d'une même lumière , poar des points qui en sont inégalement éloignés , sonf en raison inverse des carrés de leurs distances à cette lumière.

et l'inteofité de la lomîére B à la distance d -^ x par la pn^or-

tîOD

Lef deux intensités devant être égales poor le point C, Téquation dn problème Mra

X» {d^xf

2ad ad^

OB ** xA = o.

Cette équation donne

ad I y a*d} û5*

on (n» 336)

ad X/a^d' — ad^ia—b)

ad±: \/abd^

a — b ou (n*» 386)

adà=,d\/ ab

di\/a \/T±.\/a\/ù)

d \/7 (.\/7 di\/r)

o«(nM31,3».)

d\/7(\/7 di\/T)

et X r

d'où il vient

^fy/rCy/r— \/r)

dy/T'

Remae^s. On p«ot obtenir plos promptement les deux valeur» de $.

Pour cela , an lien de ramener Féquation -— = -— à la

X* \d — xf

forme a:* + P*^ 4" f = o , on la mettra sous la forme

101 wtwmàmM mi tvsiftut .

qui doonera immëdiatenent

- dt

dy/T-^ xx/a'^ ±. X x/b , qui donne d\/a = * \/a ik a: \/h ,

rf\/r- * (\/T±. \/b )

dou X =« et X =

comme ci-detius,

Appligatiom HVMiEiQVs. Solt de £f = la, a = 16, ^ =^ 4. On aura pour AC 00 x

iav/i6 4B

donc BC ou <^ — jr = 12 — 8 = 4*

Ces deux valeurs satisfont à la question , car si on les substitue

dans les expressions — • et , on aura pour Tintensifé de la

x^ (d — xy

16 16 I lumière A au point C » — = — ^ — ; et pour Tintensité de la 8* 64 4

lumière B au même point C , — = — = — .

L'autre valeur

■M KmntaM. 303

donne

donc BC oa </ *-« X » la — a4 «= — la.

Ces deux yaleurt convieniieiit encore à la question , et déterminent un second point QJ è droite des deui lumières. Car au point

C , rintensité de la lumière A sera -— *- » « : et Tin-

tensité de la lumière B au même point QJ sera