I . a . 3 «(/n— i) (iw— a) (m
«te etc.
AjoatMil tootts cet égaUtët , et représentai per Sm 9 ^<»-f 9 Sm-^s, eie.» la soaifne det poiitafoces m, ut — ^i, iTi^^a, etc. de tôcb le» tevHies de £■ progression, oft aura
WB tùHU. DES VUIff. SIMl »B8 TIBIT. b'uRS NOS. ABICT.
â*où il viendra
formule qui servira à trouver la somme des puissances semblables de tous les termes de la progression proposée, quoiqu'elle ne contienne pas explicitement la quantité S^ qu'il s'agit de déterminer. U suffira pour cela de f^te suceessivement m ^ i,i7t»3)i7t»3,
eto »
Faisant im « i, on aura
qai donne
d'où il vient
on (n* K12)
en représentant par A le nombre de termes de la progression ; résultat que Tou pouvait conclure à priori de l'hypothèse «rt s i , puisque S^ étant la somme des puissances 9éfo de tous les termes de la progression, cette quantité doit être composée d'autant d'anités qu'il y a de termes dans cette progression.
( ^} n est évident que tous les termes qui contienneut le facteur m -^ i doivent disparaître.
MMIM. DM fVlfS. SEMI. DM TSIM. »*0BI PEM. ABUS. 909
Si on fait m = a, on aora
II» = û« + a (Sj — tf) r+ (So — «^ r*
-a« + a(S,~i/)r+(ii-i)r»(*).
d'où il viendra
S, — ti
ar
et S| =■ f- w . . . . (a)
Faisant iti => 3, on aora
,1» — g»— 3(S,—i/)r» — (/»—!) y^ dou S, — u*^ • ■■■ '
Mettant pour S| — ii la valeor trouvée précédemment, on anra
(tt»— a»— (»— I )r*\
au»— aa»— 3rt«»+3m»-f-3 (»— i) /«—a («— i)f* = __ 5
d'où il viendra
au»— aa*— Zru* ■+■ 3ra» + (n—i) /»
aji*— art* + 3/a' + 3/a» + («— i) r»
ou S. Il Tl L (3).
ns.=;..
JIIO mmm. dm poim. simb des terii. d^vbm »o«. ahtm. Si on fait m = 4, on aura
- «*+4(S,—i*»)M^S,-.iiV+4(S,— *|)r»+(/^-l)^• . d*où il viendra
Remplaçant S, — u^ et S^ — u par leurs valeurs, on trouvera
«*—«*+ a/*tt' + ara' + r*tt* — r^a* ^ S, = (4)
En continuant ainsi de donner à m des valeurs de plus en plus grandes, on trouverait des formules qui feraient connaître les valeurs de S4, S„ S^^ etc
679. Si on suppose que la progression proposée est la suite naturelle des nombres, dans laquelle a =1, r=i et it= n^ les formules (1), (a), (3) et (4) du n.« précédent deviendront
«,|S— a4-3n*-f3-f/ï— ï an'+37i^+«
SONSlATIOll l>(8 SriTES. 311
ii*-4-aa-l-i «» -H-Z-
SOMMATIOBl DES SUITES.
675. Lorsqu*on sait trouver la somme des puissances semblables de tons les termes d'une progression arithmétique, il est facile d*obtenir la somme des termes de chacune des suites que Ton peut former de la manière suivante:
Soit la progression ^
ire fuite a, aa + r, 3a + 3/*, 4« + 6r ....,
»"• a, 3a + r, 6a + 4r, loa + lor ,
3"« a, 4a + r, loa + 5r, aoa + i5r ,
etc •• •
La première de ces suites se forme en ajoutant successîi^e^ ment chacun des termes de la progression à la somme de tous ceux qui prëcèden t.
312 tOWf ATIOH DBS SUITM.
Ia seconde suite se déduU de la première, en ajoutant successivement iliacun de ses termes à la somme de tous ceux ^ui précèdent,
La troisième suite se déduit de la seconde par le même procédé, et ainsi des autres.
674* La somme d'un nombre quelconque de termes de chacune des suites qui se déduisent dune progression arithmétique est toujours une fonction de la somme de certaines puissances des termes de la suite naturelle des nombres.
Dans toate progression arithméliqae on a (n® 515)
ou à cause que
Il - a -f. (/i — i)r.
[rt -f- (/i — i)r -f û
aa + (/f — i)r
= an -j «' — n (i)
Chacun des termes de la première des suites dont il s*agît étant
égal à la somme d*un certain nombre de termes de la progression
r i- a, a -{- r. a + ar. a -(- 3r , la quantité an -| «*
r .— — — nque Ton irient de trouver pour S sera l'expression du
terme général de cette suite \ en sorte que^ si dans l'égalité (i), on remplace successivement n par i, a, 3, etc., on obtiendra successivement le I*', le a"'*', le 3"^", etc. terme de la première suite. Ainsi) en représentant les termes successifs par r^, i", r"^, etc., on aura
r r Pour n = I, e' =aXiH XI* Xi,
«MnATfOM 9M tvim. 313
r r JPour n = a, î" = a x a -4 X**— • X*>
f^our H x=r a, i"^ = « X 3 + x3^ X3,
«te., etc.
Done, ti on représente par S« la aornaie des termes r', i'', r^'^fetc, on anra
S, = £i(i+a+3+...H— l(i*+a*+3» f ..,) l(xH-a+3+...).
DV>ù Ton Toit que la somme d*iin nombre quelconque de termes de la première suite est une quantité qui dépend des sommes dea premières et des secondes puissances des termes de la suite naturelle des nombres.
Si on remplace les sommes ( -f- ^ + ^ 4"' « < • m ^^ >* '4' ^'
-)-3^ + par les Taleurs (6) et (7) trouVéet (n"^ ^72),
on aura
i.a a\o ya %
an (n-hi) %rn^ 3/w* ht m^ m
a xa ta la 4 4
an{n+i) am* 3/yi* m 3m^ 3m
a xa 13 12 12 ;a
an{n^i) (»'— 1)
^{n+t) iî(i7+i)(w— 1)
formule au moyen de laquelle on peut déterminer la somme d*un ToMB If. 40
sombre qaelconqaede termes de la saite a, aa -f- r, 3a -|- 3/-,..«.,
en faisant soccessîyement n = i, fi = a, i? = 3, etc •
Chaque terme de la seconde suite a, 3a -f- r, 6a -^ 4r,. . • . • est aussi la somme d'un certain nombre de termes de la première suite a, aa -j- r, 3a -j- 3r Donc la valeur (2) qoe nous venons de trouver pour S^ est l'expression du terme général de cette féconde suite ; expression qui peat être mise sous la forme
Donc pour obtenir chacun des termes de la seconde suite, il suffira de faire successivement n = i^it =: ^^n =3, etc. dans cette dernière expression.
Si on représente les termes de la seconde suite par T^, T",
T"^ etc., on aura
Pour II = I, T' =. XI* h XI + Xi'— — - X I ,
Pour » = a, T" = Xa*+ Xa + --- Xa» X a ,
Poum = 3, T"/= — X3*+— X3+ — x3' J- X 3,
etc., etc
Donc en représentant par St la somme des termes T^,T",T''V*» 00 aura
St-— (i»-fa«4-3»+..H-~fi-fa+3+...)+-^(i'+a»4-3»+...)
D'où Ton voit que la somme d'un nombre quelconque de termes de la seconde suite est une quantité qui dépend des sommes des premières, des secondes, et des troisièmes puissances d'un certain nombre de termes de la suite naturelle des nombres.
Remplaeant les sommes i -f- a + 3, + i* -f- a* -f- 3
fidVMATlO!! DBS 8CITIS. 315
... €t I» 4- a» 4-3» -f par les yaleur* (6), (7) et (8)
d a a^ 672^ on aura
a»(ii+iXîUJ+i) anin+t) r ii*(iï+i)(n+i) r n(»+i) St = ' — 4--
. fl7f (n-fi) /aiî+i \ , /" ("+0 / ("+0 \
formule par laquelle os pourra trouver la somme d un nombre quelconque de termes de la seconde suite a^ 3a -|- r, Sa
-}- 4/*f 9 en 7 faisant successivement » = i , if = a,
» = 3, etc
Ce que nous venons de dire suffit pour faire voir que la somme d*un certain nombre de fermes des séries suivantes dépend des sommes des premières, secondes, troisièmef, quatrièmes, etc. puis« sances des termes de la suite naturelle des nombres.
On parviendrait à sommer ces différentes, suites par des procédés analogues a ceux que nous venons d'employer.
675. Les quantités S<, St » etc., dont nous venons de déter^* miner les valeurs pour un nombre n de termes, se nomment le^ termes sommatoires des suites dont elles dépendent , et chacune se déduit aisément du terme général de la même suite y qui , comme on vient de le faire voir, n*est autre cbose que le terme sommatoire de la suite précédente. La question inverse est tout aussi facile ià traiter; c'est-à-dire que connaissant le terme sommatoire d'une suite quelconque y il sera toujours aisé 4c déterminer son terme gé-^ néral, ou, ce qui revient au même, le terme sommatoire delà suite précédente. •
Pour cela, dans V expression générale du terme sommatoire donné, on remplacera n par n — i, ce qui donnera l'expression de la somme des (n — 1) premiers termes de la suite proposée; retranchant ensuite cette somme du terme somma-
316 tonufiqn Mt tvms.
ioire donnée c'est-i-dire , de la somme des n premiers iermes de cette même suUe^t on aura évidemment ie terme du rang d, ou le terme général de cette suite, et par conséquent la terme sommntoire de la précédente.
Par exempU, «yint (form. 3)
pour ^prettion da terme tommatoire de la raite a , aa -f- r, 3a -(- ir^tio,^ on remplacera n par it ^-< i, ce qui donnera:
(an m* anr \ — +--t)
on* m* 3/"»* <OT an»
pour la tomme des (n — » i) premiers termes de la suite a, aa *|- r,
3a -f- 3r Retranchant cette somme du terme sommatoire
donné
an* an m' m
onanra
an -] ' — ,
qui n'est autre chose ^que le terme général de la suite a, aa -|- r, 3a -|^ Sr (^oy, form. t), ou le terme sommatoire de la progression T «. a -f. '•• a -^ %r u.
HdMiBn FiMttii. 117
DES T90MBEES FIGURÉS.
676* On appelle nombres figurés une suite de termes que l'on déduit, comme au n^ 673 d'une progression arithmétique dont le premier terme est Funité, et dont la raison est un nombre entier positif. Si la raison est i, la progression est
•f- i« a« 3* 4* S* o.«.f*««. n, I, 3, 6, 10, i5, aiy«... ,
et les séries ^ •**>»»' » »
1, 5, i5, 35, 70, ia6,. .., etc
que Ton obtient, sont celles des nombres figurés de la première classe.
La première se nomme série des nombres triangulaires^ la seconde con\itn\.\e% nombres triangulaires pyramidaux.
Les séries suivantes n*ont pas de dénominations particulières.
Si la raison de la progression est a, cette progression est
