f-i) /n^-Yn — a\ . a V a J

w(w-{-i)(aw-|-4) K"+0 ^^^-^^ — ^

ii(>i+i) / 4» ; 8+i>'' + a~a X ~ a . a V 3.2 )

n(n+i) X5if+«'-f-6 \

n(n+i) / ai2-f3»+wX»+ax3 \

9)0 1NHIBR18 rjooiis.

^ K^+0 r n(,i+aH-3(n+a) n 1 . a L 34 J

i i(ii+i)(,i+a)(,i +3)

I . a . 3 • 4 formule qui fera connattre la tomme d*Qn certain nombre de termes contécutifs âe la saile des nombres triangulaires pyrami-

' dans I » 4 9 10, ao , en 7 faisant successivement a s=z i ^

f} s=s 1 , R =3 3 , etc

Si dans la même formule 4 du a? 674 on fait a =3 i , r = 2 , on aura

ii(iî-{-i)(aîf-j-4) ''("+*) /aw^-f-î»'» — 4 \

a. a. 3 a.aV2,3 y

«(^+0 /a»+4 if*+ii— a\ "^ a . a \~r "* 3 ^/

«(n-f-i) X aiî-j-ïi4""X"+^ \ "" a . a V 3 ^y

formule an moyen de laquelle on pourra déterminer la somme des n premiers termes de la suite des nombres quadrangnlaires

pyramidaux i , 5 , 1 4 , 3o , (n® 676).

Ces développements sont plus que suffisants pour faire voir comment on pourrait obtenir la somme des n premiers termes de cbacune des autres suites de nombres figurés que Ton peut déduire des diverses progressions arithmétiques 7- i . 4 . 7 • 10 . i3.... ., T I . 5 . 9 . i3 . i7....«.., etc.

>«abiHAM« ^<b iHU«H ^

SOMMATIOIV DES PILES DE BOlCLfitS.

67B. Dans les parcs d'artillerie , on entasse les boulets en py- Vamides triangulaires , on en pyramides quadrangulaîres: ces pyramides sont nécessairement régulières, et se nomment /7/Zp^ trian^ claires ou quadranguldires ^ ces dernières se nomment nus$\ piles carrées, tl y a encore des piles d\ine autre forme, qui se nomment piles oblongu^.

679. La basede la pile triangulaire est nn triangle équilatérai. Leèoulei ^l termine cette|Ml« reposa sur 3 autres boulets, ceux-ci sur 6, ces derniers sur 10, et ainsi de suite; en sorte que les diverses rangées depuis le sommet jusqu'à la base inclusivement forment la suite 1, 3, 6, 10, i5,. .... des nombres triangulaires (ti® 6Y($). De plus, le nombre des rangées eaC é|;al au rionubre da boulets d'un des côtés de la ^se.

D'après cela, pour trouver le nombre de boulets d'une pile triangulaire, il suffira de remplacer n par le nombre de boulets d'un des côtés de la b^se dans la formule (i) du n<> 677.

Supposons que le nombre de boulets d'un des eôtës de la base

soit xo.

/ loXiiXia

On atira S, on pile triangidaire = = :|20,

C^. Dans ia pile qnadrangolam, dont la baae es€ on carré ^

le, boulet supérieur repose sur quatre, oaux*^ sur 9, ces do'Dkn

a4r i6,et ainsi de suite; en sorte que les différentes rangées, à partir

/du sommet, forment la suite i, 4» 9» 16, 3 5.... des nombres carrés,

,' et le nombre de rangées est égal au nombre de boulets d'un des

/ côtés de la base.

Tqme II. 4i

9ÏÎ «DHVAitoir i« fitss.

Ainsi) pour trouter )e oombre de boulets d'une pile quadumgnlaire, on fera n égal au nombre de boulets d'uo des côtés de la base dans la formule (a) du n® 677.

Supposons, par exemple > que le nombre de boulets d*iui des €Ôt^*s de la base soit 8, on aura

St on pile quadmnguUdre «= 8 X X <=3 2o4 .

681. La pile oUongue est terminée par une ligne de boulets dont nous représenterons le nombre par m. Tous ces boulets reposent sur deux lignes de (m-f- i) boulets chacune, ces deux lignes sur trois de (i7?-4-a) boulets, et ainsi de suite. On aura donc

!«• rangée =: m es i, m c=x i. m

»■• 2= 2 ('w+i) s=z 2, m ^ 2 =ta 2, m -^ 1 X a

3«« =3 3(»i4.2) = 3. ifi + 6r=i3. m + S X a

4»* -=3 4 (wi-|-3) = 4. m-|- la = 4. JTi -f- 6 X 2

etc.*.. etc.... etc.... etc..,.

Donc en ajoutant toutes ces rangées, on aura

Piie obhngue = //î(iH-a+3+4+ . • .-f «) + a{i+3-f 6-f-. . .)

Le nombre qui multiplie m est la somme des termes de la suite naturelle des nombres depuis l'unité jusqu'au terme n qui est égal au nombre de rangées ; et par conséquent le premier terme de la

formule sera mn

Quant au second terme , il se compose de a multiplié par la

somme d'autant de termes de la suite des nombres triangulaires

qu'il j a de rangées de boulets moins une, ou qu'il y a d'unités

moins une dans »; donc pour obtenir ce second terme, il suffira de

remplacer n par » — i dans la formule (i) du n^ 677, qui de«

viendra alors x X f et de multiplier ensuite

para.

wmuxion bbs pum$. VU

Chi aura donc

mn («+ i) 3 («— i).if.(fî+i)

,^le ookmgue =3 4- >

ii(i7-f-i) /'3m-\-2n — a

f-4-i) /'3/ii+an — a \

fensnle ao moyen de laquelle on pourra calculer le nombre do iMMileti d'une pile oblongue quelconque^ en remplaçant m par le nombre de boulets de la rangée supérieure, et 9i par le nombre de rangées.

Soit m =a 5, » no S, on aura

7 /3x5+ax6-aX 7 /i5+i2-a\ Piie obhngae^S X 1 '■ j «eX'-'f ]

= 7 Xa5=i75.

Wi BÈGiES OB nms.