SI I. a

=i+(/7i+«)z+rLj: jz»+

I. 2 On toit donc que le produit des développements (3) et (4) est nne fonction de m '\- n^ qui est composée en m -{- n comme le premier Test en m et comme le second Test en /z , et que la ma* nière dont ces quantités entre dans le produit est indépendante de leurs valeurs particulières. Or, dans le cas où m et n sont des nombres entiers positifs, on a (n® 417) m [m — 1)

5+772-S -I Z^+ ou F (/7l) = (l+»r,

jj^,nz + — z*+ ou F C») = (i-f «r ;

PiMOHST. I»B Là FORtf. DU BIN. POCR I7fl KlP.^^MUi. t7

donc on aura aussi , dans le même cas,

i+(w ; n z-i^ ■■ ^' - ■ »* + ==F(i7i)xF(i»)

=(i+«rx(i+»r

(m-f-«) (w+zî^ — I)

en sorte que le produit i + On-\-^)^'\ «*+..•

des deux développements (3) et (4) est le développement de (i

-|-2)'M-», lorsque w et n sont des nombres entiers positifs. Mais,

comme nous Venons de le remarquer, la manière dont les quantitéi

m et 72 entrent dans ce produit est indépendante de leurs valeurs

particulières ; donc le produit i -f- (//i-j-w) z+ —

z*-|- on F (?w-f«) sera le développement de F (/w)xF W ou

de (iH-z)'"+", quels que soient m et n. On aura donc, d*une ma-

nicre absolue

Si dans cette égalité on remplace n par /> + 9» il viendra

Km)x^{p+q) = FC/7I+/J+5), et par conséquent

F{m)xT{p)XFiq) = F(77i+/i+^) , et ainsi de suite.

Cela posé , si on suppose que m, />, <7,..« sont des qnantitëa

fractionnaires positives» et toutes égales à , on aura

Si on suppose de plus que le nombre de facteurs soit égal à & , cette égalité deviendra

[Ky)]' .F(-lxi).FW.

38 ViMORST. 91 LA rOBM. 9V BIR. SOtFft FIf BXP. ^ILC.

et par conséquent -

F^— ^=,l^F(a)=[FU) j"^ .(5).

Mais <z étant un nombre entier positif, on a

F(a) = (i + z)« = i+az4 »*. (G),

et par suite L^ {a)\ * = (i+»)^ (7).

Les égalités (5) et (7) donneront

Mais d*après la manière dont on est parvenu à cette dernière égalité, F I j est composée en — ^ de la même manière que

F (m) et F C/i) le sont en m et en /t , c est- à dire que

donc aussi

Donc enfin la formule

ml m — i)

(i-|-»r = 1 + ma -I 3*+ du n*^ 417

est vraie quand m est un nombre fractionnaire positif.

Nous allons maintenant faire voir que cette même formule est encore vraie quand m est un nombre négatif, entier ou fractionnaire.

PVI88AIfCE8 BBS POLTHOMBI!. 19

Pour cela, dansF(/7t-Hz\ «opposons n positif, et m » — it, d'où il résQltera

Mais régalîtéF(.'n)xF(/i) aF(/w+/j), trouvée ci-dessus, étant vraie, quels que soient m eX n ^ on aura aussi

F(/w)xF(/i)= I , d'où il vient

m(m — i) ou F(m) = (;+z)-'' = Cî+2;'"= i+m^H «'+

Donc, quelque soit /ti ^ on a toujours

(142)'" = i + WI3 -j z^-4-*

Pour revenir de Ci+^y*" à (a:-}-^)'"» îl suffira de remplacer s

a par — , et de multiplier par j?'" , comme nous l'avons déjà dit an

1%^ 4iT ; donc la formule du n^ 409 est vraie pour un exposant entier ou fractionnaire , positif ou négatifs