Q# REMARQUES

Pour'trouver le p. g. c. d. entre plusieurs nombres à la fois, il faut d’abord chercher le p. g. c. d. entre deux de ces nom- . bres , puis le p. g. c. d. entre celui qui vient d’être trouvé et un troisième nombre , puis le p. g. c. d. entre ce dernier commun diviseur et un quatrième nombre. . . .

Soient A, B, C, E, F. . les nombres proposés; appelons D le p. g. c. d. entre A et B, et D' le p. g. c. d. entre D et C ; je dis d’abo#d que D' est le p. g. c* d. de A , B, C. En effet, le p. g. c. d. de A, B, et C , devant diviser A et B, divise D, qui est leurp». g. c. d. {voyez n" 82) ; d’ailleurs il divise C; ainsi il doit diviser D' qui est, par hypothèse, le p. g. c. d. de D et C. D’un autre côté, D' divisant D , divise A et B; ainsi , D' divise A , B , C , et par conséquent , leur p. g. c. d. Donc ce dernier nombre et D' sont réciproquement divisibles l’un par l’autre; donc ils sont égaux.

Pareillement, le p. g. c. d. entre A, B, C, E, devant diviser A , B , C, divise D' qui e§j lcurp.g-. c. d. ; d’ailleurs , il divise E ; ainsi il doit diviser le p. g. c. d. D" entre D' et E. D’un autre côté , D" divisant D', divise A , B , C ; ainsi D" divise A , B ,C, E , et par conséquent leur p. g. c. d. Ce dernier nombre et D" étant réciproquement divisibles l’un par l’autre, sont égaux.

Et ainsi de suite.

N. B. — Ou conçoit qu’il y a , en général , de l’avantage n opérer d’abord sur les deux nombres les plus simples, puisque le p. g.c. d. cherché ne saurait surpasser.crlui qui existe entre ces deux nombres.

On trouvera, parce procédé, que les nombres 5o4 , 756, 1260, et 2 o 58, ont pour plus grand diviseur commun 4^.

On pourrait également décomposer les quatre nombres en leurs diviseurs simples , et opérer comme il a été dit pour deux nombres (n° 180).

183. Remarques sur les fractions irréductibles. — On appelle (n° 84) fraction irréductible, une fraction qui ne peut être exprimée en termes plus simples.

Il résulte évidemment de cette définition, que les deux termes d’une fraction irréductible sont premiers entre eux ; car s’ils avaient un facteur commun, autre que l’unitc, on pourrait; en *

SUR LES FRACTIONS IRRÉDUCTIBLES. Il)<)

les divisant par ce facteur , obtenir une fraction plus simple , ce qui serait contre la définition.

Réciproquement, toute fraction dont les deux termes sont premiers entre eux est irréductible.

En éflet, désignons par j la fraction proposée , dont les ternies sont, par hypothèse , premiers entre eux ; et soit une

autre fraction ^ égale à la première.

On a

d’où l'on déduit c

ad

Or, c est un nombre entier;

donc

ad

doit aussi être un

nombre entier; mais, par hypothèse, b est premier avec a; ainsi (n°i28) b doit diviser d, et l’on a d—bq.

Substituant celte valeur de d dans l’expression de c, on obtient

Cela prouve évidemment que pour qu’une fraction - soit

équivalente à une fraction j dont les deux termes sont premiers

entre eux , il faut que les deux termes c et d soient des équimulliples de a et b.

Donc la fraction ^ ne peut être équivalente à aucune autre fraction plus simple.

Il résulte de là que quand on a divisé les deux termes d’une fraction par leur plus grand commun diviseur, la fraction résultante est irréductible j proposition que nous avons énoncée au numéro 84, mais sans la démontrer.

184. On peut encore conclure de ce qui vient d’être dit, que deux fractions irréductibles ne peuvent être égales, à moins qu’il n’jr ait identité, d'une part entre les numérateurs, d autre part entre les dénominateurs.

En effet , la première fraction étant irréductible, finit avoir

zoo

PROPHIÉTKS

«es deux termes premiers entre eux; donc, pour que la seconde lui soit égale , il faut que ses deux termes soient des équimulliples des deux termes de la première ; et comme la seconde fraction a aussi ses deux termes premiers entre eux, ceux-ci doivent être simplement égaux an» deux termes de la première.

§ III. Des fractions décimales périodiques .

liîfS. L’évaluation d’une fraction ordinaire en fraction décimale, c’est-à-dire eu dixièmes , centièmes. . . . de l’unité principale, donne lieu à des circonstances qui méritent d’être examinées; mais avant de les faire connaître, il est nécessaire île revenir sur le procédé qui sert à convertir une fraction ordinaire en fraction décimale.

Mous avons vu (n° 91) que, pour opérer cette réduction, il faut, après avoir écrit un zéro au quotient et une virgule à la droite de ce zéro, i°. placer à la droite du numérateur un o et diviser le nombre résultant par le dénominateur, ce qui donne au quotient des dixièmes et un certain reste; î° . placer un nouveau a à la droite de ce reste et diviser le nombre résultant par le dénominateur, ce qui donne au quotient des centièmes et un second reste ; 3°. placer à la droite de ce reste un nouveau o, et diviser le nombre résultant par le dénominateur; on continue d’ailleurs cette série d’opérations, jusqu’à ce qu’on ait obtenu le degré d’approximation qu’on veut avoir.

Or, il est évident que poser successivement à la droite des différents restes autant de zéros qu’on veut obtenir de chiffres décimaux, revient à écrire tout de suite ces zéros à la droite du numérateur de la fraction proposée, c'est-à-dire à multiplier le numérateur par l'unité suivie d’autant de zéros que l’on veut avoir de chiffres décimaux , à diviser le produit résultant par le dénominateur, et à séparer ensuite vers la droite du quotient, le nombre de chiffres décimaux demandé : car, d’après le procédé ordinaire de la division des nombres entiers, on est conduit à abaisser successivement à la droite de chaque reste , les zéros qu’on a écrits tout d’abord.

DES FRACTIONS décimales périodiques.

Celte remarque va nous servir à démontrer les deux pro- |ii ie'tes suivantes :

186. i°. 'Toute fraction ordinaire, dont le dénominateur ne renferme pas d’autres facteurs premiers que 2. et 5 , est réductible en une fraction décimale d’un nombre limité de chiffres décimaux ; c’est-à-dire qu’après un certain nombre d’operations, on doit parvenir à un reste nul; auquel cas la fraction de'cimalc obtenue exprime la valeur exacte de la fraction proposée.

E11 outre , si la fraction ordinaire proposée estirréductible (ce qu’on peut toujours supposer) , le nombre total des opérations à effectuer, est marqué par le plus grand des deux exposants de 2 et 5 , qui entrent dans le dénominateur.

Ainsi, les fractions — », 7—, — J- , qui peuvent évidentes 25 4° >25o

ment se mettre sous la forme

sont réductibles en une fraction décimale d’un nombre limité de chiffres décimaux.

La première et la troisième donnent lieu à 3 opérations; la seconde à 2, et la quatrième à 4.

Ou trouve en effet, pour leurs valeurs,

ce qu’on peut vérifier aisément en opérant leur réduction eu décimales, d’après le procédé ordinaire.

Pour nous rendre compte de cette propriété, remarquons

que 10, ioo, 1000,. . . étant égaux à 2.5, 2’. 5’, 2*.5 ;i ,

si, pour opérer la réduction en fraction décimale, on multiplie (n° 188) le numérateur pano, 100, 1000. . . . , le produit résultant sera divisible par 2.5, 2'. 5’, 2 3 .5 3 . ... ; donc, si l’on multiplie ce numérateur par l’unité suivie d’autant de zéros qu’il y a d’unités dans le plus grand des exposants de 2 et 5 que renferme le dénominateur, le produit résultant sera nécessairement multiple de ce dénominateur.