HKDUCT. DES FKACT. AU PLUS PETIT DÉN0M1NAT. COMMUN

pics, d’après la règle connue, reviennent à

Les seuls facteurs premiers qui entrent dans ces dénominateurs, sont 2, 3, 5, et 7; elles plus hautes puissancesauxquelles ces facteurs premiers s’y trouvent élevés, sont 2*, 3*, 5’, 7’. Formant donc le produit de ces plus hautes puissances , 011 trouve 176400 pour le plus petit multiple commun à tous les dénominateurs ; et ce nombre est le dénominateur commun auquel il s’agit de réduire toutes les fractions.

Pour exécuter cette opération , on divise séparément le dénominateur commun par le dénominateur de chacune des fractions proposées ; et l’on multiplie le numérateur par le quotient correspondant.

Ainsi , dans cet exemple , considérons d’abord la première fraction.

La division de 176400 par 60 donne 2940 pour quotient; d’où, en multipliant le numérateur de cette fraction par 2940, 38220

on obtient — re ~. — .

Passant à la seconde fraction et divisant 176400 par 28, oi» a pour quotient 63oo; d’où, multipliant le numérateur par

, . , . 107100 63oo , on déduit — — .

On trouverait de même pour les quatre dernières fractions,

• i6go5 i35632 114840 i 28 i 35

Ces- diverses opérations sont déjà assez compliquées; mais elles seraient bien plus laborieuses, et l’on parviendrait à un dénominateur incomparablement plus grand, si l’on suivait la règle établie n° 47. (Ou trouverait 32006016000000.)

Au reste, les décompositions des dénominateurs dans leurs facteurs simples se font, le plus souvent, à la seule inspection de ces nombres, surtout lorsqu’ils renferment plusieurs fois les facteurs 2 , 3 , 5, pour lesquels on a des caractères de di-

REMARQUES SUl. LE PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR. I q5

visibilité, ainsi que pour leurs multiples 4 , 6, 8,9, 12, i5,

Nous proposerons pour exercice les fractions suivantes ,

( Le plus petit multiple de tous les dénominateurs est 2 6 . 3 i . 5“.’] 3 — 4939200.)

149. Remarques sur le plus grand commun diviseur. — Nous avons établi , n u ii'i , un procédé pour obtenir le nombre le plus grand qui puisse diviser à la fois deux nombres proposés. Le procédé est simple-, et la démonstration que nous en avons donnée , ne laisse rien à désirer sous le rapport de la rigueur. Cependant nous allons faire connaître quelques propriétés importantes de ce plus grand commun diviseur, qui nous conduiront à des simplifications dans la pratique.

Puisqu’un nombre entier quelconque , décomposé eu ses facteurs simples, ne peut avoir d’autres diviseurs (n° 158) que ces facteurs premiers et leurs combinaisons deux à deux, trois à trois, etc. , il s’ensuit que «leux nombres entiers n’ont ,pour diviseurs communs, <|ue les facteurs premiers communs , ou les combinaisons communes de ces facteurs.

Donc le plus grand commun diviseur de deux ou plusieurs nombres est le produit des fadeurs premiers communs à ces nombres, élevés respectivement à la plus faible des puissances auxquelles entrent ces fadeurs dans les nombres proposés.

Conséquence. — Tout diviseur commun A plusieurs nombres divise leur plus grand commun diviseur; celte proposition a déjà été établie, n° 58, pour deux nombres.

150. Cette propriété fournit un autre moyen de déterminer le plus grand commun diviseur de deux nombres A et B : Commencez par rechercher tous les diviseurs du nombre A, d’après la méthode du 11" 144 , déterminez de même tous les diviseurs du nombre B. J oyez ensuite quel est le plus grand de tous les diviseurs qui se trouvent communs au r deux tableaux; vous obtenez ainsi le diviseur demandé.

|q5 REMARQUES

Ou Lie» encore, ce qui est plus court , apres avoir seulement décompose 1 les deux nombres en leurs facteurs simples (n°i44), faites un produit des facteurs premiers communs, élevés respectivement à la plus faible des deux puissances auxquelles ces fadeurs entrent dans les deux nombres.

Soient, par exemple, les deux nombres 2i5o et 36i2, don: on veuille obtenir le plus grand commun diviseur.

3oi

On trouve pour les diviseurs simples rie 2i5o.. 2,5,5,43,

et pour les diviseurs simples de 36i2 2,2,3,7,43.

Donc 2 X 43 ou 86 est le plus grand commun diviseur cherche. On voit de plus, que 5 X 5 ou 25 , et 2 X 3 x 7 ou lp ). , sou* les quotients de la division de 2i5o et 36i2 par 86.)

181 . Ce procédé est toutefois moins simple, en général , que le procédé ordinaire , surtout lorsqu’on apporte , dans la pra- , tique de celui-ci , les modifications suivantes :

Puisque le plus grand commun diviseur de deux nombres 11e se compose que des facteurs premiers communs aux deux nombres, on peut, rr.ns inconvénient , supprimer dans l’un d’eux un facteur premier qui s’y trouve en évidence et qui n'entre pas dans l’autre.

On peut même, si l’on veut, supprimer un facteur qui est évidemment commun aux deux nombres , pourvu qu’à la fin de l’opération subséquente, on eu tienne compte en multipliant le résultat auquel on parvient, par le fadeur supprimé.

Observons d’ailleurs que le plus grand commun diviseur de deux nombres étant (n 0 82) le même que celui qui existe entre le plus petit nombre et le premier reste, entre ce reste et le second , etc.. . . , ces suppressions peuvent se faire dans chacune des opérations que comporte le procédé.

suit LE PLUS GKAND COMMUN UIVISLUR. Il, 7

Ainsi, reprenons les deux nombres 21S0 et 36 t 2 .

Je vois que 2 1 5 o contient le facteur 5 , et même le facteur a 5 qui n’entre pas dans 36 i 2 ; je supprime doue ce dernier facteur, et il vient pour quotient 86.

De même, 3612 contient le facteur 3 qui n’entre pas dans 2 1 5 o ; je le supprime, et il vient pour quotient 120/}.

Les deux nombres 86 et 1204 ont évidemment le facteur commun 2 que je mets à part ; et la question eîl ramenée à rechercher le plus grand commun diviseur entre 43 et 602.

Divisant 602 par 43 , je trouve un quotient exact 14 ; donc 43 X 2 ou 86 est le plus grand commun diviseur cherché.

Soient encore proposés les deux nombres 377 et 249.

Je commence par supprimer le facteur 3 qui , se trouvant dans 249, n’entre pas dans 377 ; et la question est ramenée à rechercher le plus (;rand commun diviseur entre 377 et 83 .

Appliquons le procédé : en divisant 377 par 83 , 4

un a pour quotient 4 , et pour reste 45 ; mais au 377 83

lieu de diviser 83 par 45 , comme à l’ordinaire , je 45 remarque que 45 = 3 '. 5 ; or, les facteurs 3 et 5 n’entrent pas dans 83 ; je puis donc supprimer dans 45 les facteurs 3 ‘ cl 5 ; ce qui me donne pour quotient final l 'unité. Donc 377 et 83 , et par conséquent 377 et 249 , sont premiers entre eux.

Avec un peu d’habitude, ces modilica lions abrègent beaucoup la pratique du procédé. Au reste, nous les avons présentées ici principalement parce qu’elles deviennent indispensables dans la recherche du plus grand commun diviseur algébrique (*).

1 K2. On peut avoir besoin de déterminer le plus grand diviseur commun à plus de deux nombres. Voici la règle qu’il faut suivre :

(Pour abréger, nous désignerons les quatre mots, plus grand commun diviseur, par p. g. c. d. )

(*) MM. î . a m r. et Binet, membres de l’Académie des Sciences , ont présenté dernièrement li l’Académie, chacun de leur côté, une Note ayant pour objet de déterminer une limite du nombre d’opérations que l’on est obligé «l’exécuter quami ou applique le procédé ordinaire du p. g. c. d. (Voir les Onmptcs rendu r des séances de V Academie des Sciences tome XIX, pages H67 cl séance» des 28 octobre et 4 novembre 1 844 1