PROPRIÉTÉS DES FRACTIONS DÉCIMALES PÉRIODIQUES

Donc le nombre des operations à effectuer est limité, et égal au plus grand des deux exposants de 2 et 5 qui entrent dans le dénominateur.

187. Toute fraction ordinaire dont le dénominateur renferme un ou plusieurs facteurs premiers différents de 2 et 5 , qui n entrent pas en meme temps dans le numérateur, donne lieu à une fraction décimale d'un nombre de chiffres décimaux illimité ou infini. De plus, celte fraction décimale est périodique , c’est-à-dire qu’après un certain nombre d’opérations , les mêmes chiffres décimaux se reproduisent constamment dans le même ordre.

En effet, la multiplication du numérateur par 10, 100,

1000 ne fait qu’introduire les facteurs premiers 2 et 5,

chacun à une certaine puissance ; ainsi le facteur premier que l’on suppose exister dans le dénominateur sans entrer dans le numérateur, ne se trouvera pas davantage (n° 129) dans le produit du numérateur par une puissance quelconque de 10. Donc, quelque nombre de zéros qu’on écrive, on ne pourra obtenir un produit exactement divisible par le dénominateur; ainsi les opérations se continueront à Yinfni.

Je dis en outre que la fraction sera périodique. En effet, comme, suivant le procédé du n° 188, chaque reste qu’on obtient est toujours moindre que le diviseur, qui reste constant, il s’ensuit que , quand on aura fait tout au plus autant d’opérations qu’il y a d’unités dans le diviseur moins un , on devra retomber sur l’un des restes déjà obtenus.

Or, en écrivant un zéro à la droite de ce reste, on aura un nouveau dividende partiel semblable à l’un des précédents ; et puisque le diviseur est le même , le nouveau quotient et le nouveau reste seront aussi semblables à ceux qu’avaient donnés le premier dividende retrouvé et le diviseur. Écrivant à la droite de ce reste un nouveau zéro, on reproduira le dividende partiel qui suit immédiatement celui qu’on avait d’abord retrouvé, et par conséquent aussi Ig quotient qui vient après celui qu’on a déjà retrouvé. Ainsi de suite.