DES FRACTIONS PÉRIODIQUES. 2 UC

ferme un des deux fadeurs 2 et 5 , on tous les deux, donne lieu à une fraction périodique mixte dont la période doit commencer après autant de chiffres qu J il y a dt unités dans le plus grand des deux exposants de i et de 5 , qui entrent au dénominateur.

D’abord, la fraction périodique ne peut pas être simple,

... abcde ... . .

car la formule pour ces sortes de fractions, étant , il

est impossible (n° IU 4 ) que cette dernière fraction, donf le dénominateur ne renferme aucun des facteurs a et 5 , soit, après la réduction à ses moindres termes, égale à la fraction proposée dont le dénominateur renferme ces mêmes facteurs.

En second lieu, si n désigne le plus grand des deux exposants de 2 et 5 , qui se tiouvent dans le dénominateur, la période doit commencer après n chiffres; car supposons, par exemple, qu’elle commence après (;i — i) chiffres ; la fraction équivalente à cette fraction périodique aurait un dénominateur qui ne renfermerait les deux facteurs 2 et 5 , ou l’un d’eux, qu’à la (n — i ) i/mr puissance, et ne pourrait être égale à la fraction proposée, puisque d'ailleurs ces deux fractions sont supposées irréductibles.

Par exemple, les fractions -, — ( n* 5 ifî8) , ont donné liçn

à des fractions périodiques simples, parce que 7 et 37 sont

premiers avec 10; mais la fraction ^7.» donné lieu à une

fraction périodique dont la période commençait après le second chiffre, parce que 84 est égal à a’.aiT

Enfin, la fraction iif, pouvnntsc mellresousla forme— . ’ 176 r 2>. 1 1 ’

donnerait lieu à une fraction périodique dont la période commencerait après le 4" e chiffre décimal.

On trouve, en effet, pour la valeur de celte fiaction en décimales , o , 8238636363 ....

162 . Nous ne pousserons pas plus loin l’examen des propriétés des fractions décimales périodiques. Nous nous borneronsà

Arith. H.

SIO