DES TRACTIONS CONTINUES

observer que des propriétés analogues aux précédentes se inanifestcraient dans un système quelconque de numération dont la base serait B.

D’abord, pour réduire une fraction ordinaire en subdivisions de B en B fois plus petites que l’unité, il faudrait, conformément» la règle du n°9l, multiplier lenunférateurparB, ou 10 , c’est-à-dire : écrire un o à sa droite , et diviser le produit par le dénominateur, ce qui donnerait au quotient des unités B fois plus petites que l’unité principale, et un certain reste ; écrire à la droite du reste un nouveau o , et diviser le résultat par le dénominateur, ce qui donnerait au quotient des unités B fois plus petites que les précédentes, ou B 2 fois plus petites que lunité principale ; et ainsi de suite. Ceci admis :

Toute fraction ordinaire dont le dénominateur rie renferme pas d’autres facteurs premiers que ceux qui entrent dans la base B, étant réduite en subdivisions de B en B fois plus petites que l'unité, donne lieu à une fraction dé un nombre limité de chiffres. Mais toute fraction irréductible dont le dénominateur renfepme des facteurs premiers différents de ceux qui composent la base , donne lieu à une fraction d’un nombre indéfini de chiffres, et périodique; etc.

Et ainsi des autres propriétés; nous laissons aux élèves le soin d’en rechercher les énoncés et les démonstrations.

§ IV. Des fractions continues (*).

t63. Les fractions continues doivent leur naissance à l’évaluation approchée des fractions dont les termes sont considérables , et premiers entre eux.

Pour nous faire mieux comprendre, soit proposée la fraction

( r ) Quelques-uns des numéros de ce paragraphe supposent des notions d Algèbre un peu plus étendues qne celles qni ont fait l’objet de l'introduction au cinquième chapitre; mais les élèves peuvent passer nuire, sauf & v revenir lorsqu’ils se seront familiarisés davantage avec les opérations de l’Algèbre , ou lorsqu'ils sentiront la nécessité d’étudier celte théorie.'

DES KKACTIONS CONTINUES.

dont les deux termes sont preuiiiTs'entre eux, comme il est

aise de le vérifier, et qui, pour cette raison , est (n“ 183) irréductible.

En laissant la fraction sous cette forme, on s’en ferait difficilement une idée bien nette; mais si, en -vertu d’un principe connu, l’on divise ses deux termes par 15g, ce qui n’en change

pas la valeur, elle devient

, ou, effectuant la division

indiquée au dénominateur, g-.

Cela posé, négligeons, pour le moment, la fraction ; ' a

fraction ^ qui en résulte, est plus grande que la proposée, puisque l’on a diminué le dénominateur.

D’un autre côté, si, loin de négliger on remplace cette

fraction par i, ce qui donne alors ~ — ou , cette nouvelle

fraction est, à son tour, plus petite que la proposée, puisqu’on a augmenté le dénominateur.

D’où l’on peut conclure que la fraction —J est comprise

entre ~ et . Ceci donne déjà une idée assez exacte de la frac-

tion.

Si l’on veut un plus grand degré d’approximation , il n’y a

qu a operersur comme on a opère sur

109 / i5qn

On trouve

UES EHACTIONS CONTINUES.

et la proposée devient

Si l’on néglige on a 1 qui est plus grand que d’ow

il suit que est plus petit nue 7— 5. Mais -revient

à — - — ou •— • ainsi la proposée est encore comprise entre

1 et -2.

La différence de ces deyx dernières fractions est - 3

ou i . Donc l’erreur que l’on commet en prenant ^ pour la va-

leur de la proposée, est moindre que g7.

Opérant sur -g comme on a opéré précédemment , on a

’JÏ ! — I ; et la fraction proposée peut se mettre

■ 6 eî) t + f 5

sous la forme

ii 1 . 1 5

Négligeons —p . Le nombre—, ou i, est plus grand que yg } 1 () ^

1 1 . . iu

donc , ou — , est plus petit que .

Donc