PROPRIÉTÉS PRINCIPALES DES RÉDUITES

cëdentes reposent sur le même calcul, celui du n° 170 : ce qui en rend les démonstrations plus faciles à retenir.

175. Cinquième et dernière propriété. — Une réduite de rang quelconque approche plus de la valeur de \ , non-seulement qu'aucune des réduites précédentes , mais encore qu'aucune autre fraction dont le dénominateur est moindre que celui de la réduite considérée ; en sorte que l’on peut assurer qu’il n’existe pas d’autre fraction qui, en termes plus simples, donne une valeur plus approchée de x.

Soient ^ la réduite que l’on considère, et une fraction Q m

quelconque , telle que l’on ait m' < Q'; je dis que n’ap-

proche pas plus de x que jj,

En "effet , remarquons d’abord que la fraction — -, ne 'sau-

rait etre comprise entre et car, pour que cela

TYl P

fût, il faudrait que la différence entre ^ et * savoir , mP' — P m

, fût numériquement moindre que la différence i OP

entre ^ et — : ce qui est impossible puisque mP' — P m',

nombre entier, est au moins égal à i , et que m' P' est plus petit que P'Q', à cause de l’hypothèse m' <[ Q'. (On ne peut

supposer mP' — P m' = o , car il en résulterait — . = — ; et la

Yït O

fraction — 7 étant identique avec la réduite qui précède , la

proposition serait déjà démontrée.)

Puis donc que x est compris entre ^et et que, d’après ce qui vient d’être dit , il ne peut en être de même de la fraction — , il s’ensuit nécessairement que, si l’on écrit ces quatre

APPLICATION DE LA THÉORIE OES FRACTIONS CONTINUES. a2>J

nombres par ordre de grandeur, on ne pourra former que les deux combinaisons suivantes:

P' Q" m' ’ ° U b ' en m' ’ F’^’Q 7 *

Dans le premier cas, il est évident que la différence entre x

et —, est plus grande que la différence entre x et

Dans le second , elle est plus grande que la différence entre

x et p 7 -, et à plus forte raison, plus grande que celle qui existe eiitie x et C. Q. F. D.

C’est, au reste, ce qu’on peut encore reconnaître en calculant, d’après le procédé du n® 170, la différence x — et comparant son expression à celle de la différence x — —, établie même numéro.

174. Pour terminer la théorie élémentaire des fractions continues, nous indiquerons l’usage qu’on peut en faire dans l’évaluation approximative d’une fraction irréductible dont les termes sont très-grands.

On réduit if abord le nombre proposé en fraction continue , d' après le procédé du n° 104 ; puis on forme les réduites consécutives, en suivant la loi du n°166. On obtient ainsi une série de fractions alternativement plus grandes et plus petites que le nombre proposé (n° 170) ; et parmi ces fractions , on choisit celle qui donne le degré d'approximation que l'on désire avoir

pour la fraction. Ce degré est (n® 172) marqué par | ' P) ~Q

ou jryrp, si est la réduite considérée. Lu réduite doit être

(n® 171) d’un rang d’autant plus éloigné qu’on veut avoir un plus gt and degtr d’approximation.