APPLICATION

Soit propose, pour exemple, d’évaluer approximativement le rapport de la circonférence au diamètre.

On sait que ce rapport, exprimé en décimales, a pour valeur, à moins d’un cent-millième près, 3, i/ii5q, ou - '

1 ' v IOOOOO

On trouve d’abord pour la valeur de ce nombre réduit en fraction continue,

oui - 3

ce qui donne , pour les réduites consécutives , d’après la loi du n° 166 ,

En prenant d’abord — pour la valeur du nombre proposé, on commettrait une erreur moindre que — — - — -, ou : mais

cette réduite donne encore un de^ré d’approximation plus considérable : car, puisque le nombre proposé est compris entre 22 333 22

— et — g, il s’ensuit que — diffère de ce nombre d’une quan-

Uté moindre que — — y., ou— 7 -: ainsi, [erreur commise

est beaucoup moindre que . Aussi ce nombre — , ou 3 - ,

est-il fréquemment employé pour exprimer le rapport de

la circonférence au diamètre. C’est le rapport donné par

Archimède.

DE LA ThAoIUE DES FRACTIONS CONTINUES.

La quatrième réduite, — qui n’est pas beaucoup plus cota-

pliquée que — donne une valéur bien plus approchée : car le nombre proposé étant compris entre et , l a difle-

rence entre ce nombre et — - est moindre que — r- ,

1 1 3 n ii3X293i

fraction évidemment plus petite que 0 , 00001 . Il est à reniai —

quer que les deux fractions — = et - — i — -, dont la première

est exprimée en termes bien plus simples, donnent, en décimales, la même approximation pour le rapport de la circonférence au diamètre. C’est le rapport donné par Adrien Métitis. Les réduites suivantes sont trop compliquées pour être substituées avec avantage au nombre proposé.

Nous ne pousserons pas plus loin l'examen des propriétés des nombres; mais nous recommanderons aux jeunes gens qui, déjà familiarisés avec l’analyse algébrique, voudraient étendre leurs connaissances sur cette partie, la lecture de deux ouvrages intitulés : Théorie des Nombres, par Legendre, et Disfjuisitiones Arilhmeticæ , de Gauss , ouvrage traduit avec beaucoup de succès par M. Poulet-Delisle *