CHAPITRE VI

Formation des Puissances , et extraction des Racines carrées et cubiques des nombres.

§ 1". Formation du carré et extraction de la racine carrée.

178. Notions préliminaires. — Ou appelle carré (n° 108) ou seconde puissance d’un nombre, le produit de ce nombre multiplié par lui-même , ou le produit de deux facteurs égaux à ce nombre, et racine carrée ou 2 me d’un nombre , un secoud nombre qui, multiplié par lui-même, ou élevé au carré, donne pour résultat le nombre proposé.

Ainsi, i a pour carré 49; et réciproquement, 49 a pour racine carrée 7. De même, ta a pour carré îa X ia ou 1 44 ; et réciproquement , la racine carrée de 1 44 est l2 -

La formation du carré d’un nombre entier ou fractionnaire n’exige aucun procédé particulier : il suffit de multiplier ce nombre par lui- même , d’après les règles connues.

Mais il n’eu est pas de même de l’extraction de la racine carrée, qui a pour objet : Un nombre étant donné , trouver le nombre qui , multiplié par lui-même, peut produire le nombre proposé. Cette question ne peut être résolue que par une opération essentiellement différente de celles qui ont été exposées jusqu’ici ; elle est d’ailleurs d’une très grande importance dans la Géométrie et dans l’Algèbre.

Cela posé, les dix premiers nombres entiers étant

dont les carrés sont

'd'un nombre entier. ?3i

il eu résulte que réciproquement, les nombres de la seconde ligne ont pour racines carrées les nombres de la première.

A l’inspection de ces deux lignes, on reconnaît que, parmi les nombres entiers d’un ou de deux chiffres, il n’y en a que neuf qui soient des carrés d'autres nombres entiers ; les autres ont pour racine carrée un nombre entier plus une fraction.

Ainsi, 53, qui est compris entre 49 et 64 , a pour racine carrée 7 plus une fraction. De même , 91 a pour racine carrée 9 plus une fraction.

176. Mais, ce qui est très-remarquable , c’est qu’un nombre entier qui n'est pas le carré d’un autre nombre entier , ne peut pas avoir non plus pour racine , un nombre fractionnaire exact.

Cette proposition qui , au premier abord , peut paraître un paradoxe, est une conséquence du principe établi (n° 130) sur la divisibilité des nombres. En effet, pour qu’un nombre fractionnaire exact, puisse être regardé comme la racine carrée

d’uu nombre entier, il faut que son carré, ^ X j , ou ^ , soit égal à un nombre entier. Or, cela est impossible : car, supposons, ce qui est toujours permis, que ^ soit réduit à sa plus

simple expression; a* et b % n’ont pas (u° 130) d’autres facteurs premiers que ceux qui entrent dans a et 5; et puisque ces deux derniers nombres sont premiers entre eux, il en est

de même de a* et b'. Ainsi, j- % est un nombre fractionnaire

irréductible, et ne peut, par conséquent, être égal à un nombre entier.

La racine carrée d’un nombre entier qui n’est pas le carré d’un autre nombre entier, ne pouvant être exprimée par aucun nombre exact, s’appelle nombre incommensurable ou irrationnel ; c’est-à-dire qui ne peut pas se mesurer exactement au moyen de l’unité. Ainsi, \/2, \/5, ÿi 1 , sont des nombres incommensurables ou irrationnels.

On dit alors que le nombre proposé n’est pas un carré parfait.

177 . La différence de deux carrés parfaits consécutifs est d’autant plus considérable que les racines de ces carrés sont plus grandes ; et l’expression de cette différence est utile à connaître.

Soient, à cet effet, deux nombres entiers consécutifs, a et

On a (n° 1 12 ) (a -|- by = (« -f- b) (a -J- b) = a s -f- 4 6* ;

d’où, en faisant b = i , (a -f-i )* =rt a -(- 2a 4 i.

La différence entre (a-f-i)* et a* est donc ia -f- i ; d’où l’on voit que la différence entre les carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale au double du plus petit de ces deux nombres , augmenté d'une unité. Ainsi , la différence entre les carrés de 348 et de 347, est égale à a fois 347 plù* 1 > ou à 6 g 5 ; ou bien , en d’autres termes, les carrés de 347 eide 348 comprennent 6g4 nombres entiers , qui ne sont pas des carrés parfaits.

Ces notions établies, proposons-nous de rechercher un procédé pour extraire la racine carrée d’un nombre, en commençant par les nombres entiers.