Extraction de la racine cariée d’un nombre entier

Si le nombre n’a qu’un ou deux chiffres, sa racine s’obtient immédiatement d’après l’inspection des neuf premiers nombres (n° 178 ) ; considérons donc un nombre de plus de deux chiffres , 6084 par exemple.

Ce nombre étant composé de plus de deux chiffres , sa racine en a plus d’un; d’ailleurs, il est plus petit que ioooo, qui est le carré de 100 ; ainsi, la racine n’a ni plus, ni moins, que deux chiffres , c’est-à-dire qu’elle renferme des

dixaines et des unités. Or, si l’on dé-

signe les dixaines' par a , et les unités par b , on a (n° 177 )

6084 = (a b)' — a ’ -f- 2 al) -f- ;

d’un nombre entier.

ce qui prouve que le carre d’un nombre compose de dixaines et d’unitcs renferme le carré des dixaines, plus le double produit des dixaines par les unités, plus le carré des unités.

Cela posé, si l'on pouvait découvrir dans 6084 le carré des dixaines de la racine, on obtiendrait facilement les dixaines; mai.> le carré d’un nombre exact de dixaines ne pouvant donner qu'un nombre exact de centaines, il s’ensuit que ce carré doit se trouver dans la partie 60 à gauche des deux derniers chiffres, que l’on sépare , pour cette raisou , par un point ; mais celte partie peut d’ailleurs, outre le carré des dixaines, renfermer des centaines et mille , provenant des autres termes du carré. Or, le nombre Co est compris entre les deux carrés 49 et 64 , dont les racines respectives sont 7 et 8 ; et , je dis que 7 est le chiffre des dixaines cherché ; car 6000 est évidemment compris entre 49°° et 6400 , qui sont les carrés de 70 et 80 ; il en est de inèmedct>o 84 - Donc la racine demandée se compose de 7 dixaines, et d’un certain nombre d’unités moindre que dix.

Le chiffre des dixaines, 7, étant trouvé ,- on l’écrit à droite du nombre donné, en le séparant par un trait vertical ; puis on retranche son carré 49, de 60, ce qui donne 11 pour reste, à côté duquel on abaisse les deux autres chiffres , 84 - Le résultat 1 184 de cette première opération contient encore le double • produit des dixaines par les unités et le carré des unités. Or, des dixaines multipliées par des unités ne pouvant donner au produit des unités moindres que des dixaines, le dernier chiffre 4 ne fait pas partie du double produit des dixaines par les unités ; ainsi ce double produit se trouve renfermé dans la partie à gauche 1 18 qu’on sépare du chiffre 4 par un point.

Donc, si l’on double les dixaines, ce qui donne « 4 > et qu’on divise 1 18 par 14, le quotient 8 est le chiffre des unités, ou un chiffre plus fort que celui des unités. Ce quotient ne peut pas être trop faible, puisque 1 18 contenant le produit du double des dixaines, 14 , par les unités, il faut qu’on puisse en retrancher le produit de 14 par le chiffre qu’on essaie ; mais il peut être trop fort, parce que 1 18 , outre ce double produit,

a 34 EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE

contient encore des dixaines provenant du carre' des unités. Pour vérifier si le quotient 8 exprime les unités , il suffit de l’écrire à la droite de 14 , ce qui donne 148 , puis au-dessous de lui-même , et de multiplier 148 par 8. On forme évidemment parla, i° le carré des unités, 2° le double produit des dixaines par les unités. Or, cette multiplication effectuée donne pour produit 1184, nombre égal au résultat de la première opération ; et en le retranchant de ce résultat , on a o pour reste ; donc 78 est la racine demandée.

En effet , il résulte des opérations précédentes , que l’on a retranché successivement de 6084 , le carré de 7 dixaines ou de 70, plus le double produit de 70 par 8 , plus enfin le carré de 8 , c’est-à-dire les trois parties qui entrent dans la composition du carré de 70 + 8 ou 78; et comine le résultat de la soustraction est o , il s’ensuit que 6084 est égal au carré de 78.

Soit , pour second exemple , le nombre 841.

Ce nombre étant compris entre ioo et 8.4 •

1 000 , sa racine se compose encore de deux chiffres , ou de dixaines et d’unités.

On prouvera, comme dans l’exemple précédent, que la racine du plus grand carré contenu dans 8, ou dans la partie à gauche 0

des deux derniers chiffres, est le chiffre des dixaines de la racine. Or, le plus grand carré contenu dans 8 est 4 > dont la racine est 2 : c’est le chiffre des dixaines. Si l’on retranche le carré de 2, ou 4, du nombre 8, il reste 4; abaissant à côté de ce reste la tranche suivante 4* » on obtient 44 1 * résultat qui renferme encore le double produit des dixaines par les unités, plus le carré des unités.

On prouvera encore, comme dans l’exemple précédent, que, si l’on sépare le dernier chiffre 1 par un point , et qu’on divise la partie à gauche 44 P ar 4 » double ‘ des dixaines , le quotient sera le chiffre des unités , à moins qu’il ne soit plus fort que ce chiffre. Ici , le quotient est 1 1, et il est évident qu’on ne peut pas avoir plus de 9 pour les unités (car autrement , ce serait supposer que le chiffre trouvé pour les dixaines ne serait pas

d’un nombre entier. a 35

le véritable). 11 faut donc essayer 9 : pour cela , on place 9 à la droite de 4 , double des dixaines, puis au-dessous de luimême , et l’on multiplie 49 P*r 9 - Or, cette multiplication donne le produit 44 1 1 qui ® st égal au résultat de la première opération; ainsi, 29 est la racine demandée. ' -

En réfléchissant sur le procédé qu’on vient de suivre ponr extraire la racine carrée d’un nombre de trois ou de quatre chiffres , on voit qu’il se compose de deux opérations principales.

La première consiste , après avoir séparé les deux derniers chiffres à droite , à extraire la racine du plus grand carré contenu dans la partie à gauche, et à retrancher ce carré. Cette racine exprime nécessairement les dixaines de la racine totale ; car le carré de cette racine suivie d’un zéro , et le carré de cette même racine augmentée d’une unité et suivie également d’un zéro , comprennent évidemment le nombre proposé. La seconde opération consiste, après avoir abaissé les deux chiffres à droite du reste, et après avoir séparé le dernier de ces deux chiffres par un point, consiste, dis-je, à diviser la partie à gauche par le double du chiffre déjà trouvé à la racine. Le » quotient exprime les unités, à moins qu’il ne soit trop fort; et pour s’assurer s’il n’est pas trop fort, on forme le carré de ce quotient, et le produit du double des dixaines par ce quotient.

Si la somme qu’on obtient est égale ou inférieure au résultat • de la première opération , on est sur que le quotient représente les unités, et on l’écrit alors à la droite des dixaines ; dans le cas contraire , on diminue le quotient d’une ou de plusieurs unités.

Remarque. — Dans la recherche de la racine carrée d’un nombre, on ne peut obtenir d’abord le carré des unités : car ce carré donne en général (n° 178 ) des dixaines qui se combinent avec celles que fournit le double produit des dixaines par les unités; eu sorte qu’il est impossible de déterminer d’une manière précise dans quelle partie du nombre proposé se trouve le carré des unités.

Nous prendrons pour troisième exemple , un nombre qui n’est (ras un carré parfait : soit le nombre 1287.

a36 EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE

lin appliquant à ce nombre le procédé 1 ci-dessus, on trouve 35 pour racine, et 62 pour reste; ce qui indique que le nombre 1287 n’est pas un carré parfait, niais qu’il est compris entre le carré de 35 et celui de 36. En effet, le carré de 35 est 1225, et celui de 36 est 1296 , nombre qui surpasse 1225 de 71 ou de 35 X 2 + 1 (n° 177).

Ainsi, lorsqu'un nombre entier n’est pas un carré parfait , le procédé prescrit fait connaître la racine du plus grand carré contenu dans ce nombre , ou bien encore, la partie entière de la racine carrée de ce nombre.

Nous verrons bientôt comment on obtient approximativement la fraction qui doit compléter la racine.

179. Passons à l’extraction de la racine carrée d’un nombre de plus de quatre chiffres.

Soit 5682i444 I e nombre proposé.

Le nombre proposé surpassant 10000 , sa racine doit être plus grande que 100 , c’est-à-dire avoir plus de deux chiffres. Mais quoi qu’il en soit, on peut toujours la regarder comme une collection d’unités simples et de dixaines (car soit 5367 un nombre quelconque, il est décomposablc en 536o -f- 7 , ou 536 dixaines plus 7 unités).

Dès-lors, le carré de celle racine, ou le nombre proposé, se

d'un nombre entier.

compose de trois parties, savoir : le carré des dixaines, plus le double produit des dixaines par les unités, plus le carré des unités. Or le carré des dixainesdonneau moins des centaines ; donc la dernière tranebe , 44 » ne peut en faire partie ; et c’est dans la partie à gauche que se trouve ce carré.

Je dis maintenant que, si l’on cherche la racine du plus grand carré contenu dans 568 a 1 4 considéré comine exprimant des unités simples , on aura le nombre total des dixaines de la racine demandée.

En effet, soit a la racine du plus grand carré contenu dans 5682 i 4 ; il s'ensuit d’abord que la racine demandée a au moins un nombre a de dixaines, puisque a' x 100 peut alors être retranché de 56821 4 00, et à fortiori , de 66821 444- D'ailleurs, la racine ne saurait avoir (a -f- 1) dixaines ; car (a-f- 1)* étant plus grand que 668214» (fl-f-i)’ X 100 surpasse 56821400 d’une centaine au moins . et par conséquent est plus grand que 568 a 1 444-

Donc enfin , la racine demandée se compose de a dixaines plus un certain nombre d’unités moindre que dix jet la ques-' tion est ainsi ramenée à extraire la racine carrée du nombre 568214» considéré, pour le moment, comme exprimant des unités simples.

En raisonnant sur ce nombre comme sur le nombre proposé, on est conduit , pour avoir les dixaines de sa racine, à extraire la racine du plus grand carré contenu dans la partie gauche de 1 4 > c’est-à-dire dans 5682 ; et pour obtenir les dixaines de cette nouvelle racine, il faut encore faire abstraction des deux derniers chiffres 82 , et extraire la racine du plus grand carré contenu daus 56 .

Ex trayons donc la racine de 56 : il vient^ pour 49; on écrit 7 k la droite du nombre proposé , et l’on retranche 49 de 56 , ce qui donne pour reste 7, à côté duquel on abaisse la tranebe suivante 82 (parce qu’il faut maintenant déterminer le second chiffre de la racine du plus grand carré contenu dans 5682 ). Séparant le dernier chiffre à droite de 782, puis divisant 78 par z 4 > double de la racine déjà trouvée, on a pour quotient 5