PROCÉDÉ GÉNÉRAL DE LA RACINE CARRÉE

que l'on écrit à la droite de i4 , ce qui donne 1 4® » puis écrivant 5 au-dessous de i/fS, on multiplie 1 45 par 5, et l’on soustrait le produit 725, de 782; ’jS représente alors la collection desdixaincs de la racine du nombre 5682 1 4.

Pour en obtenir les unités, on abaisse à côté du reste 67, la tranche >4» ce qui donne 5714 dont on sépare le dernier chiffre. Divisanl57i par i5o, double de la racine déjà trouvée, on a pour quotient 3 que l’on écrit à droite de i5o , ce qui donne i5o3; puis écrivant 3 au-dessous de i5o3, on multiplie i5o3 par 3 et l’on retranche le produit 45og, de 5714; 753 exprime alors le nombrç total des dixaincs de la racine demandée.

Enfin , pour avoir le chiffre des unités, on abaisse à côté du reste 1206, la dernière tranche 44; puis faisant abstraction du dernier chiffre, on divise la partie à gauche 12054 par i5o6, double de la racine déjà trouvée; il vient pour quotient 8 que l’on écrit à la droite de i5o6, ce qui donne i5o68. Multipliant i5o68 par 8, et soustrayant le produit i?.o 544 j on obtient zéro pour reste. Donc 7538 est la racine demandée. Pour vérifier l’opération , il suffit de multiplier 7538 par luimême , d’après les règles de la multiplication ariibmétique.

Si l’on a bien saisi les différentes parties de l’opération précédente, on en conclura facilement le procédé suivant :

Séparez le nombre en tranches de deux chiffres chacune , à commencer par la droite ( le nombre des tranches est égal au nombre des chiffres de la racine ), Prenez la racine du plus grand carré contenu dans la première tranche à gauche, qui peut n’avoir qu’un seul chiffre , et retranchez le carré du chiffre trouvé , de la première tranche à gauche.

Abaissez à côté du reste la seconde, tranche à gauche, dont vous séparez le dernier chiffre par un point ; puis divisez la partie à gauche de ce chiffre par le double de la racine déjÀ trouvée. Ecrivez le quotient à côté du double de la racine ; multipliez le nombre ainsi formé , par ce quotient, et retranchez le produit, du premier reste suivi de la seconde tranche.

Abaissez à côté du nouveau reste la troisième tranche; séparez le dernier chiffre , et divisez la partie à gauche par le

DÉTERMINATION DO NOMBRE DE CHIFFRES DE LA RACINE. ?.3ç ) double de la raci/ie déjà trouvée; écrivez le q uolient à la droite de ce diviseur, puis multipliez le nombre ainsi formé, par le quotient , et retranchez le produit , du second reste suivi de la troisième tranche. Continuez ainsi cette série d'opérations jusqu'à ce que vous ajez abaissé toutes les tranches.

Si , à la fin de toutes ces operations , vous n’obtenez aucun reste , le nombre propose est un carré parfait. Si vous obtenez un reste , le nombre n’est pas uu carré parfait ; niais vous connaissez alors la racine du plus grand carré contenu dans le nombre , ou, ce qui revient au même, la partie entière de la racine carrée de ce nombre. Ce reste doit être (n° 177 ) moindre que le double de la racine trouvée, plus i : autrement, les chiffres de la racine auraient été mal déterminés.

180 . flous proposerons pour nouvelles applications, d’extraire les racines carrées des nombres 1 7698849 et 698485 ; on trouvera

y ' 1 7698849= 4 2 °7> V / f>g8485=835 l avec un reste 1260.

Première remarque. — Dans le premier de ces deux exemples , quand on a abaissé l’avant-dernière tranche et séparé le dernier chiffre, comme la partie gauche se trouve moindre que le double de la racine déjà trouvée , cela indique que la racine n’a pas d’unités de l’ordre des dixaines ; alors il faut mettre un o à la racine afin de donner aux chiffres déjà obtenus leur valeur relative. .

Deuxième remarque. — Il résulte de la nature même du procédé précédent , que le nombre des chiffres de la racine est égal au nombre des tranches de deux chiffres qu'on peut former dans le nombre proposé. Mais cette proposition se démontre à priori , c’est-à-dire sans le secours du procédé.

En effet, le carré de .o" - ', ou du plus petit nombre de n chiffres, est égal à l'unité suivie de a (n — 1) ou de 2/1 — 2 zéros, et exprime le plus petit nombre de 2 n — 1 chiffres.

D’un autre côté, le carré de 1 o", ou du plus petit nombre de (n + 1) chiffres, est égal à l'unité suivie de 2 n zéros, etexprime le plus petit nombre de (an -J- 1) chiffres.

» 4 ° CARACTÈRES u’UN NOMBRE NON CARRÉ PARFAIT.

Donc tout nombre composé de ( 2 n — i) chiffres, ou de in au pins , c’est-à-dire un nombre décomposable en n tranches de 2 chiffres (dont l’une peut n’avoir qu’un seul chiffre), a sa racine comprise entre io” — ‘ et io", et par conséquent composée de n chiffres.

i8i. y ’roisième remarque. — On reconnaît souvent à la simple inspection d’un nombre entier, qu’+l n’est pas un carré parfait ; et cela peut être utile dans la pratique. Voici les indices principaux :

t°. Tout nombre pair pouvant être exprimé par 2 n, son carre est essentiellement divisible par 4 -

Ainsi, Tout nombre pair qui n’est pas divisible parl^ (n° 156), ri est pas un carré parfait. De même, le carré d’un nombre impair ( 2 n-|-i) étant (4«* 4- 4 n "l - *)> nombre qui, diminué d’une unité, devient nécessairement divisible par 4 » il s’ensuit que tout nombre impair qui, diminué de 1 , ne donne pas un résultat divisible par 4 , ne peut être un carré parfait.

2 0 . En général, Tout nombre qui, ayant un facteur premier a , n’est pas divisible par <*', ne peut être un carré parfait. Car, la racine carrée de ce nombre, si elle était entière, ne pourrait être (n° 130) que de la forme an dont le carré «“n* est divisible par «*. Ainsi un nombre divisible par 3 ou 5 doit être en même temps divisible par 9 ou 25 pour pouvoir être un carré parfait. De même, un nombre divisible par i5, qui ne le serait pas par (i5) ou 225, 11 e saurait . être un 'carré parfait. .<•.

3 ".Aucun nombre terminé par un des quatre chiffres 2, 3 , 7,8, ne peut être un carré parfait. Car, d’après la composition du carré d’un nombre qui renferme plus d’un chiffre ( 11 “ 178),- les unités simples de ce carré ne peuvent provenir que du carré des unités de la racine. Or, en formant les carrés des neuf premiers nombres, on voit qu’aucun d’eux n’est terminé par les chiffres 2, 3,7, 8.

4° . Aucun nombre terminé par le chiffre 5, ne peulétreuncarrc parfait si le chiffre de ses dixaines n est pas 2 . Ce caractère se déduit encore de la composition^du carré d’un nombre de deux