EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE PAR APPROXIMATION
ou plusieurs chiffres. Les deux derniers chiffres du nombre propose ne peuvent, dans ce cas, provenir que du carré des unités de la racine, puisque le chiffre des unités étant 5, le double produit des dixaines par ce chiffre est nécessairement un certain nombre de centaines. Or le carré de 5 est 25 ; donc le nombre doit être terminé par 25.
5°. Enfin , Aucun nombre terminé par des zéros en nombre impair , ne peut être un carré parfait. Cela est évident, puisque, si la racine était exacte , elle ne pourrait être qu’un nombre entier terminé par un ou plusieurs zéros; et son carré devrait être terminé par deux fois autant de zéros qu’il y en aurait à la racine , et , par conséquent , par un nombre pair de zéros , ce qui serait contraire à la supposition.
/extraction de. la racine carrée par approximation.
182. Lorsqu’un nombre entier n’est pas le carré d’un autre nombre entier, on ne peut (n° 176) obtenir la valeur exacte de sa racine carrée ; mais il est du moins possible d’approcher autant que l’on veut de la véritable valeur de cette racine.
Avant d’exposer les régies relatives à l’évaluation approchée des racines carrées, il est nécessaire d’établir que, le carré
d’une fraction ou d’un nombre fractionnaire, y, étant y Xr
ou , réciproquement, la racine carree de ^ est
Donc, pour extraire la racine carrée d’une fraction dont les deux termes sont des carrés parfaits , il suffit d’extraire la racine carrée du numérateur et celle du dénominateur, puis de diviser la première par la seconde.
Cela posé, soit, en général, proposé d'extraire la racine
carrée, à une fraction près, ~ (voyez la note du n° 93),
d’un nombre a , entier ou fractionnaire , supposons, eu d’autres termes , que l’on demande un nombre qui diffère de la racine
carrée de a , d’une quantité moindre que la fraction -,
Arith. B. l()
24 ® extraction de la racine carrée
Pour y parvenir, observons que a peut être mis sous la forme
Or, si l’on désigne par r la partie entière de la racine carrée de
an', ce nombre an' est alors compris entre r' et (r-f- i) 1 ; donc
. an' . r ' ( r -f- i) 1 ,
aussi — - est compris entre — et - — - — — ; par conséquent
la racine de a est elle-même comprise entre celles de — et
de — , c est-a-dire entre - et .
r» s ri rt
Donc enfin - représente la racine carrée de a, à une
fraction près ,
D’où l’on peut conclure le procédé suivant : Multipliez le nombre donné a , par le carré du dénominateur n , de la fraction qui détermine le degré d’ approximation que vous voulez avoir ; extrayez la partie entière de la racine carrée du produit , et divisez celte partie entière par le dénominateur n.
Soit, pour premier exemple , à extraire la racine carrée de
® ^ près.
Multipliez par (12)” ou 1 44 > *1 vient 8496 dont la racine carrée a pour partie entière 92.
Donc — ou — est la racine carrée de 5 q. à — près.
Répétons sur cet exemple la démonstration qui a été développée ci-dessus.
Le nombre 5 g peut être mis sous la forme. . — ,
ou, effectuant les calculs du numérateur, ... .
Mais la racine de 8496 , à une unité près , étant 92 , il s’en-
l'AH AI'PHOXIMaTIOM.
« 4 c»b (qa.)‘ (q 3 )’
suit (j uc 7—“, ou 5 q, est compris entre et Donc
(»2) (ta) 1 (12)*
la racine carrée de 5 q est elle- meme comprise entre 22 et — •
c’est- .i-dire que cette racine diffère en moins de 2 2 e t en p j us
de 2 d’une fraction moindre que — .
Ku effet, les cariés de 22 e t d c 9 ^ 30m ^ 4^4 §649
bres qui comprennent entre eux ou 5 q.
Soit , pour second exemple, le nombre fractionnaire 3 t -
ou , dont on demande la racine carrée à — près
be produit de 222 par (a 3 )* est 222 — ^ 22 L ? ou effectuant 7 7
les calculs indiqués au numérateur, 22 ® 9 £ 2 , ou effectuant la
division, 16701 -, nombre dont la racine carrée, A une unbé
près, est 129.
Ainsi —2 ou 5 22 e »t | a racine carrée de 3 i -, à — 2 2 i 2a 7 -a 3
A r . H. — Dans l’exemple précédent, on a extrait la racine
carrée de 16701 - en faisant abstraction de la fraction -, 7 . . 7
parce qu’il est évident que , si 16701 est compris entre les car-
l es de 1 20 et de i 3 o, il doit en être de même de 16701 -
Cette observation est applicable A tous les cas où l’on a besoin de connaître seulement la partie entière de la racine carrée d’un nombre fractionnaire : il suflit de considérer la partie entière contenue dans ce nombre, et d’en extraire la racine à une unité près.
Noua proposerons pour exercice, les exemples suivant»:
V 11 = 75 = 3 75’ a 75 P rès;
v / 223 = ^ = ' 4 fî’ à îo P rès;
v 79 — = — - = 8 — = 8 — , a — près ;
V l 1 20 20 IO 20 r
L’artifice qui sert de base au procédé pour approcher de la racine carrée d’un nombre , consiste à comprendre le nombre proposé entre les carrés de deux nombres fractionnaires dont le dénominateur commun soit celui de la fraction qui détermine l'approximation , et dont les numérateurs ne different entre eux que de V unité.
483. L’ approximation en décimales , qui est la plus usitée, est une conséquence de la règle précédente.
Pour obtenir la racine carrée d’un nombre entier à — ,
-î— , — - — .... près, il faut, en vertu de cette règle, multiplier ioo 1000
le nombre proposé par ( 10 )*, ( 100 )% ( 1000 )% . . . , c’est-à-dire,
placer à la droite du nombre, deux , quatre, six, , zéros ,
puis extraire la racine carrée du produit , à une unité près , et diviser celle racine par 10 , 100 , 1000 . . . .
En d’autres termes, écrivez à la droite du nombre proposé deux fois autant de zéros que vous voulez avoir de chiffres décimaux; extrayez la partie entière de la racine carrée de ce nouveau nombre , et séparez vers la droite du résultat le nombre de chiffres décimaux demandé.
Soit , par exemple, à extraire la racine carrée de 7, à
près.
En écrivant six xéros à la droite de 7 , on obtient 7000000 ,
i'APi APPROXIMATION.
nombre «ioni la racine carrée a pour partie entière, 2645. Ainsi 2,645 est la racine demandée ; ce qui veut dire que la racine carrée de 7 est comprise entre 2,645 et 2,646.
A r . B. — Connue, après avoir écrit le nombre de zéros convenable, on est conduit à séparer le nombre en tranches de deux chiffres, à partir de la droite, on peut se dispenser d’écrire d’avance les tranches de deux zéros, et ne placer chaque tranche qu'au fur et à mesure qu’on veut obtenir un nouveau chiffre décimal à la racine.
Voici le tableau du calcul , pour l’exemple précédent :
Donc 2,645 est la racine demandée.
On trouverait pareillement
1/ 20 = 5 , 38 , à — — près ;
\/ iin = t5,o665, à près.
Remarque. — La fraction décimale provenant de la racine carrée d’un nombre entier qui n’est pas un carré parfait , quoique composée d’un nombre illimité de chiffres, ne saurait jamais être périodique; car si cela pouvait être, comme on a vu (n“ 189 et 160 ) que toute fraction périodique équivaut à une fraction ordinaire limitée, il en résulterait qu'un nombre commensurable serait égal à un nombre irrationnel (n° 176 ), ce qui est absurde.
164 . Lorsque le nombre dont on demande d’évaluer la racine carrée en décimales, est fractionnaire , il peut se présenter deux cas: ou le nombre proposé est déjà un t fraction décimale , ou
EXTRACTION DE LA RACINE CAMIÉE bien c’est une fraction ordinaire. Examinons successivement ces deux cas.
Premier cas. — Soit proposé d’extraire la racine carrée de 3 , 425 .
Comme, d'après la règle du n° 182 , il faut multiplier ce nombre par (1000)' ou 1000000, cela revient évidemment à écrire d’abord trois zéros à la droite du nombre, puis à supprimer la virgule. Ou obtient ainsi 3425ooo , nombre dont la racine , à une unité près, est 1849-
Doue i, 84 gest la racine demandée, h — - — près.
Règle générale. — Pour extraire la racine carrée d’une Jraction décimale, rendez d’abord le nombre des chiffres décimaux double du nombre des chiffres décimaux que vous voulez avoir à la racine , ce qui se fait en écrivant un nombre convenable de zéros à la droite du nombre proposé; faites abstraction de. la virgule dans le nouveau nombre, et extrayez-en la racine, à une unité prés; puis enfin, séparez vers la droite de cette racine le nombre de chiffres décimaux demandé.
Cette règle est d’ailleurs une conséquence du procédé (n® 89 ) de la multiplication des fractions décimales, en vertu duquel le carré d’une fraction décimale, ou le produit de cette fraction par elle-même , doit contenir le double du nombre des cliiffi 'es décimaux qui entrent dans la racine.
N. B. — Dans l’exemple précédent, si l’on demandait la racine de 3 , 4*5 à -î- près seulement, il suffirait, pour multiplier par (10)’ ou 100, d’avancer la virgule de deux rangs vers la droite, ce qui donnerait 342 ,5 ; puis(A r . B., n® 182 ), faisant abstraction de la partie à droite de la virgule, on extrairait la racine carrée de 342 à une unité près. On trouverait t 8 pour cette racine ; et par conséquent 1 ,8 serait la racine demandée.
Second cas. — Pour évaluer en décimales la racine carrée d’un nombre fractionnaire quelconque, réduisez d’abord le nombre en décimales, dé a/très le procédé du n" 91 . et, poussez l'opéra-
l'AK APPROXIMATION .
lion jusqu’à ce que vous ay ez deux fois autant de chiffres de cimaux que vous voulez en avoir à la racine ; puis opères comme dans le cas précédent.
Soit , par exemple , à extraire la racine carrée de à
prés.
3 io
On trouve d’abord, d’après le procédé cite, — - = 23,8461 ; d’où, appliquant la règle du premier cas,
3,0 / Uü ' 1
— -- = 4,88, a près.
1 3 ioo
Voici de nouvelles applications des deux règles précédentes 1
y 3 i ,027 = 5 , 570, à 0,001 près ; \/ 0,01001 = o , 1 0004, a 0,00001 près;
