j-g =1,0901, a 0,0001 près

= 0,886, à 0,001 près.

Observations importantes sur t extraction de la racine carrée des fractions.

18 U. Jusqu’à présent nous avons supposé que, dans l’évaluation approchée des racines , le degré d’approximation était indiqué d’avance ; et les transformations que nous avons fait subir aux nombres proposés , étaient des conséquences de cette supposition. Mais il y a des questions numériques pour lesquelles le degré d’approximation n’est pas d’abord fixé ; et dans ce cas , il est du moins nécessaire de soumettre les nombres à des préparations qui permettent, de se former une idée nette du degré d’approximation obtenu pour le résultat.

Pour nous faire mieux comprendre, proposons-nous d’er-

traire la racine carrée d’une fraction ^ ayant pour dénominateur, ou un nombre premier, ou un nombre dont les facteurs premiers n’y soient élevés qu’à la première puissance : telssont les nombres i3, 4 ou 2 X9, i5 ou'3 X 5

En multipliant les deux termes de cette fraction par le dénominateur b, on obtient et si l’on désigne par /• la partie

, , . . , , ab a

enliere de la racine du numérateur ab , il s ensuit que r-ou r

est compris entre ^ et — j - À — . Donc la racine carree de ^

est elle-meme comprise entre ^ et — ^ — ; ainsi ^ représente

la racine de à une fraction près marquée par

Le résultat n’est approché ici qu’à Mais si l’on voulait un plus grand degré d’approximation , on pourrait chercher la racine carrée de ab à une fraction près, - par exemple. {Voy.

n° 182.) Désignant alors par —la valeur de cette racine, on au-

/—r ■ r r'+i . /ab

rait y ab compris entre — et — - — , et par conséquent \J

ou ^ compris entre — ^ et — .

Ainsi — j- serait la valeur de nb

à une fraction

près

q uée P ar — b -

Soit, parexemple, — la fraction proposée. Cette fraction

revient à — ou Or la racine carree de qi est q, a

(i3)‘ fi 3)’ v

une unité près ; donc : est la racine demandée, à — près.