Scolie général. — Il résul te évidemment des principes

sur l’extraction de la racine carrée. a5i

qui ont été développes ci dessus, qu’uu nombre entier étant donné, on peut toujours obtenir l’expression exacte de sa racine carrée si ce nombre est un carré parfait, ou bien , une valeur aussi approchée que l’on veut de cette racine si le nombre n’est pas un carre parfait; et il en est de même des nombres fractionnaires.

Ces principes sont d’ailleurs tout-à-fait indépendants du système de numération dans lequel on opère; c’est-à-dire que les procédés qui ont été établis pour la recherche de la racine carrée des nombres , soit entiers, soit fractionnaires , dans le système décimal , seraient absolument semblables dans tout autre système de numération. Les commençants, pour se familiariser avec ces procédés, feront bien d’effectuer des extractions de racine dans divers systèmes, par exemple dans le système duodécimal. Ils reconnaîtront sans peine que, pour l’extraction de la racine carrée d’un nombre entier, soit exactement, soit en fractions duodécimales, il suffit d’opérer d’après les règles exposées aux n°’ 179 et 185; que, pour l’extraction de la racine- carrée des fractions, il faut faire subir aux fractions des préparations analogues à celles qui ont été indiquées aux n°* 184, 188, 186.

Telle est , enfin , la nature des nombres reconnus pour être des carrés parfaits dans le système décimal , que ces mêmes nombres exprimés dans un tout autre système, y sont encore . des carrés parfaits; et les nombres qui n’ont pas de racines exactes dans le système décimal n’en ont pas davantage dans un autre système. Ainsi^ les nombres quatre, neuf, seize , . . . , • quarante neuf , . . . , quatre vingt-un, . . . , sont des carrés parfaits dans tous les systèmes; et les nombres deux , trois ,, . . , sept, . . . , onze, . . . , n’ont de racine exacte dans aucun système. Cela tient à ce que la proposition du n° 176 repose sur les principes démontrés aux n°‘ 129 et 150, et que ces principes sont indépendants de toute hypothèse particulière sur le système de numération.

§ II. Formation du cube et extraction de la racine cubique des nombres.

139 . On appelle cube ou troisième puissance d’un nombre, le produit de trois facteurs égaux à ce nombre , et racine cubique ou troisième d’un nombre , le nombre qui , élevé au cube, reproduit le nombre proposé,

La formation du cube d’un nombre entier ou fractionnaire se réduit donc à deux multiplications successives, que l’on effectue d’après les règles connues.

Les dix premiers nombres étant

i, 2, 3 , 4 , 5 , 6, 7 > 8, 9, io,

on trouvera pour expressions de leurs cubes ,

Par exemple, le cube de 7 étant égal 37X7X7, ou dit d’abord: 7 fois 7 font 49; ut ensuite 7 fois 49 font 343 ; et ainsi des autres.

Réciproquement , les nombres de la seconde ligne ci-dessus ont pour racines cubiques les nombres de la première.

On reconnaît, à l’inspection de ces lignes, que parmi les , nombres d’un, de deux, ou de trois chiffres, il n’y en a qu eneuj qui soient des cubes parfaits ; chacun des autres a pour racine cubique un nombre entier plus une fraction , laquelle ne peut • s’expripier exactement. En effet, admettons pour un instant qu’un nombre entier N ait pour racine 3 e exacte un nombre

fractionnaire tel que il faudrait qu’en élevant ~ au cube .

on pût reproduire N. Or cela est impossible, car ? X Ï X Ê donne pour résultat p; et comme on peut toujours supposer

que ^ est

un

nombre fractionnaire irréductible,

il s’ensuit

d’un nombre entier. a53

que a et b sonl premiers entre eux ; donc (n° 130) il en est de ... à'

même de a’ et b s ; ainsi y est aussi un nombre fractionnaire o

irréductible, qui, par conséquent, ne peut être égal à un nombre entier N.

Les racines cubiques des nombres entiers qui ne sont pas des cubes exacts d autres nombres entiers ne peuvent donc pas s'obtenir exactement , et sont aussi (n° 176) , par conséquent , des nombres incommensurables ou irrationnels.

190. De même que , pour découvrir le procédé de l’extraction de la racine carrée d’un nombre entier quelconque, nous avons eu besoin de nous fonder sur l’expression du carré d’un binôme ïa-t-b), c’est-à-dire de la somme de deux quantités ; de * même, pour l’extraction delà racine cubique, il est indispensable de connaître la composition du cube de cette somme (a + b).

Or, on a déjà trouvé (n° 177) que

(a + b) % ou (a b) (a -f- b) — a' + 2 ab -)- b'.

Si l’on multiplie ce premier résultat par a + b

d’après la règle établie (n° 112 ) pour la multiplication des polynômes , et qu’on fasse la réduction des termes semblables , on obtiendra

a* 4- iab-\-b À a 4 - b

a' + ia'b +ab‘

■ +-a‘b -4- 2 ab‘ -f- b ‘ a' 3 a'b 4- 3 ab ' 4- b J

(a -)- b)' = a 1 -f- 3 a‘‘b 4- 3 ab‘ -f- ô 5 .

Soit fait dans ceLte formule, b 1 ; elle devient

f a 4- i) : * = a' -f- 3a* 4- 3a -f- 1 , d'où l'on déduit (a 4- •)* — a 3 = 3a* -f-3a -j- i-,

ce qui nous apprend que la différence entre les cubes de deux nombres quelconques qui différent d’une unité , est égale au triple du carré du plus petit nombre, plus le triple de ce meme nombre, plus 1

Ainsi , la différence entre le cube de go et celui de 8g est égale à 3 X (8g)*-j - 3 x8g -f i = 24 o3i.

On peut juger, d’après cela, combien deux cubes parfaits consécutifs sont différents l’uu de l’autre , dès que leurs racines prises dans la série naturelle des nombres, sont des nombres uu peu considérables.

194 . Recherchons maintenant un procédé pour extraire la racine cubique d’un nombre entier.

D’abord, si le nombre n’a que trois chiffres au plus, sa racine s’obtient immédiatement d’après l’inspection des cubes des neuf premiers nombres. Ainsi , la racine cubique de I2Ô est 5 , la ra- 'cine cubique de 72 est 4 plus une fraction , ou 4 , à une unité près. La racine cubique de 84 » est g , à une unité près , puisque 841 tombe entre 72g ou le cube de g, et 1000 ou le cube de 10.

Considérons donc un nombre de plus de trois chiffres.

Soit, par exemple, io 3823 le nombre proposé

va-

Ce nombre étant compris entre 1000 qui est le cube de 10, et 1 000000 qui est le cube de 100, sa racine cubique est nécessairement composée de deux chiffres, c’est-à-dire de dixaineset d’unités. Désignons par a les dixaines et par b les unités, nous

D’ON NoSIBKt ENTIER 2.55

aurons ( n° 190 )

i o3823 = [a -f fy 3 ,— a' 3 a"b ■+■ 3 ab‘ -f- b\

D’où l’on voit que le cube d’un nombre compose de dixaines et d’unités contient le. cube des dizaines , plus le triple produit du carré des dizaines par les unités, plus le triple produit des dizaines par le carré des unités, plus le cube des unités.

Cela posé, le cube des dixaiues ne pouvant donner des unités d’un ordre inférieur à celui des mille, les trois derniers chiffres à droite n’en peuvent faire partie ; et c’est dans la partie to3 (qu’on sépare des trois derniers chiffres par un point) que se trouve le cube des dixaines. Or, la racine du plus grand cube contenu dans io3 étant 4 pour 64, l\ est le chiffre des dixaines de la racine cherchée; car io38a3 est compris entre 64000 ou (4o)’ et i25ooo ou (5o)’; donc la racine est composée de 4 dixaines, plus un certain nombre d’unités moindre que dix.

Le chiffre des dixaines étant trouvé, retranchons sou cube 64 de io3 ; il reste 3g, qui, suivi de la tranche 823, donne 3ç)823 j et ce résultat contient encore le triple carré des dixaines par les unités , plus les deux autres parties énoncées précédemment. Or, le carré d’un nombre de dixaines ne pouvant donner des unités d’un ordre inférieur à celui des centaines, il s’ensuit que le triple produit du carré des dixaines par les unités ne peut se trouver que dans la partie à gauche 3g8 des deux derniers chiffres 23 ( qu’on sépare encore , pour cette raison , par un point). D’un autre côté , l'on peut former le triple du carré des 4 dixaines, ce qui donne 48; donc, si l’on divise 3q8 par 48, le quotient 8 sera le chiffre des unités de la racine , ou un nombre plus fort que ce chiffre, parce que les 398 centaines contiennent , outre le triple produit du carré des dixaines parles unités, des retenues provenant des deux autres parties. Pour vérifier si le chiffre 8 n’est pas trop fort, ou pourrait, comme pour la racine carrée , former, à l’aide de ce chiffre 8 et du chiffre 4 des dixaiues, les trois parties qui

eutreut dans 39823 ; mais il est , en général , plus simple d’élever 48 au cube.

Or, on trouve pour ce cube, 1 10592, nombre plus grand que io 3823 ; ainsi le chiffre 8 est trop fort. En formant le cube de 47, on obtient io3823 ; donc le nombre proposé est un cube parfait et a pour racine cubique 47-

N. B. — On ne peut pas rechercher d’abord le chiffre des unités, par la raison que le cube des unités pouvant (n° 189) donner des dixaines, et même des centaines, ces dixaines et ces centaines se trouvent confondues avec celles qui proviennent des autres parties du cube.

Soit encore à extraire la racine cubique de 4*7954 •

Le nombre 47964 étant compris entre 1000 et 1000000, sa racine est comprise entre 10 et 100, c'est-à-dire, renferme des dixaines et des unités. Le cube des dixaines se trouve dans 47 mille ; et l’on prouverait, comme dans l’exemple précédent, que 3 , racine du plus grand cube contenu dans 47, exprime le nombre des dixaines. Retranchant le cube de 3, ou 27, de 47» on a pour reste 20 ; abaissant à côté de ce reste , le seul chiffre 9 de la tranche g 54 , 011 a 209 centaines , nombre qui se compose du triple produit du carré des dixaines parles unités , plus des retenues provenant des autres parties. Donc , si l’on forme le triple produit du carré des dixaines 3 , ce qui donne 27 centaines, et qu’on divise 209 par 27, le quotient 7 est

d’un nombre entier. 25^

le chiffre des unités de la racine , ou un nombre plus fort que ce chiffre. En élevant 3? au cube, on trouve 5o653, nombre plus fort que 479^4 1 mais si l’on forme le cube de 36, on obtient 46656, nombre qui , retrauché de 479^4 » comme on le voit dans le tableau ci-dessus, donne pour reste 1298. Ainsi, le nombre proposé n’est pas un cube parfait: et sa racine, à une unité près , est 36. En effet, la différence entre le nombre proposé et le cube de 36, est, comme on vient de le voir, 1 298 , nombre plus petit que 3 X (36)“— J— 3 X 36 -f- 1 [différence entre (37 )' et (36*)], puisqu’on a obtenu dans le cours de la vérification , 3888 pour le triple du carré de 36.

192. Soit maintenant proposé d'extraire la racine cubique d’un nombre de plus de six chiffres , 43725658 par exemple.

reste 1 1 145°

io5

35a 1 760 io56 1 23904 35a 247808 619520 371712

Quelle que soit la racine cherchée, elle a nécessairement plus d’un chiffre; et l’on peut la regarder comme composée d’unités et de dixaioes seulement (le nombre des dixaiues pouvant avoir. plusieurs chiffres).

Or, le cube des dixaiues donne au moins des mille j ainsi, ce cube se trouve nécessairemènt dans la partie à gauche des trois derniers chiffres 658. Je dis maintenant que, si l’on extrait la racine du plus grand cube contenu dans 43725 considéré comme exprimant des unités simples, on aura le nombre total des dixaines de la'raeinc demandée. En effet , soit a la racine du

Arilh.B. 17

a58 extraction de la racine cubique

plus grand cube contenu dans 4375.6, il s’ensuit d’abord que la racine demandée a au moins un nombre a de dixaines, puisque a'X 1000 peut être retranché de 43726000, et à fortiori , de 43725658. D’ailleurs, la racine ne saurait avoir (a-{-i) dixaines; car (a -f i) 11 étant plus grand que 43725, (fl4-i)*X 1000 surpasse 437260000 d’au moins un mille , et est par conséquent plus grand que 43725658. Donc enfin , là racine demandée se compose de a dixaines plus un certain nombre d’unités moindre que dix.

La question est alors ramenée à extraire la racine cubique de 4372.5 ; mais ce nouveau nombre ayant plus de trois chiffres, sa racine en a plus d’un, c’est-à-dire renferme des dixaines et des unités. Pour obtenir les dixaines , il faut séparer les trois derniers chiffres, 726, et extraire la racine du plus grand cube contenu dans 43. (On voit assez ce qu’il faudrait faire si ce nouveau nombre avait plus de trois chiffres. )

Le plus grand cube contenu dans 43 est 27, dont la racine est 3 ; et ce chiffre exprime alors les dixaines de la racine de 43726 (ou le chiffre des centaines de la racine totale). Retranchant le cube de 3, ou 27, de 43 , on a pour reste 16, à côté duquel il faut abaisser le premier chiffre 7 de la tranche suivante, 725, ce qui donne 167.

Formant le triple carré des dixaines 3 , on trouve 27 mille ; et si l’on divise 167 par 27, le quotient 6 est le chiffre des unités de la racine de 43725, ou bien un nombre plus fort. Il est aisé de reconnaître que ce chiffre est en effet trop grand; ainsi, il faut essayer 5 , et pour cela , élever 35 au cube ; il vient pour résultat, 42875, nombre qui, retranché de 43725, donne pour reste, 85o. (Ce reste est évidemment plus*petit que 3 X (35)’ -h 3 X 35 + 1 , puisque déjà le carré de 35 est , d’après le tableau ci-dessus, égal à 1225.) Ainsi, 35 est la racine du plus grand cube contenu dans 4372.5 : c’est donc le nombre total des dixaines de la racine cherchée.

Pour obtenir les unités , on abaisse à côté du reste 85o , le premier chiffre 6 delà dernière tranche 658, ce quidonne85o6; on forme d’ailleurs le triple carré des dixaines 35 (ce qui est fa-

ü’UN NOMBRE ENTIEK . ■) r K(

cile, puisque, dans la vérification du chiffre précédent, on a déjà formé le carré de 35 ) ; puis on divise 85 o 6 par ce triple carré 36^5 ; le quotient est 2 , que l’on essaie en élevant 352 au cube ; 011 obtient ainsi 43614208, résultat plus petit que le nombre proposé. En le soustrayant de celui-ci, on obtient pour reste 1 1 i 45 o. Donc 35 a est la racine cubique de 43725668, à une unité près.

Kecle générale. — Pour extraire la racine cubique d’un nombre entier, séparez le nombre en tranches de trois chiffres chacune , à partir de la droite, jusqu’à ce que vous parveniez à une tranche d'un , de deux , ou de trois chiffres au plus (le NOMBRE DES TRANCHES EST ÉGAL AU NOMBRE DES CHIFFRES DE LA racine); extrajez la racine du plus grand cube contenu dans la première tranche à gauche , et retranchez ce cube , de la première tranche y abaissez à côté du reste le premier chiffe de la seconde tranche , et divisez le nombre ainsi formé, par le triple carré du chiffre déjà trouvé à la racine y écrivez le quotient à la droite de ce chiffre , et élevez au cube t ensemble des deux chiffres y si ce cube est plus fort que l'ensemble des deux premières tranches du nombre proposé , diminuez le quotient, d'une ou de plusieurs unités, jusqu’à ce que vous obteniez un cube qui puisse se retrancher de V ensemble des deux premières tranches y la soustraction faite, abaissez à côté du reste le premier chiffre de la troisième tranche , puis divisez le nombre ainsi formé , par le triple carré de l’ensemble des deux chiffres déjà trouvés y le quotient , s’il n’est pas trop fort , doit être tel qu’en récrivant à la droite des deux premiers chiffres de la racine , et élevant au cube le nombre qui en résulte, on puisse retrancher le produit , de l’ensemble des trois premières tranches. Cette nouvelle soustraction faite , abaissez à côté du reste le premier chiffre de la quatrième tranche , et continuez la même série d’opérations jusqu’à ce que. vous njez abaissé toutes les tranches.

Remarque. — Souvent, dans le cours des opérations, on est conduit à soupçonner qu’un des quotients dont nous venons de parler, est beaucoup trop fort, et alors on croit pou-

voir le diminuer il’avauce de deux ou plusieurs unités; mais en clevant au cube la racine déjà, trouvée , suivie de ce chiffre, et retranchant ce cube, de l’ensemble des tranches considérées dans le nombre proposé , on peut obtenir un reste très grand, qui donne à penser que le dernier chiffre placé à la racine est trop faible. Or, pour savoir si cette présomption est fondée , il faut s’assurer si le reste surpasse ou égale le triple du carré de la racine déjà obtenue , plus le triple de cette même racine, plus un. Dans ce cas, on doit augmenter la racine d’une ou de plusieurs unités de l’ordre du dernier chiffre obtenu.

Voici des exemples sur lesquels on peut s’exercer:

\/ 483249 = 78 , avec un reste 8697.

V/9t6325o864i = 45 o 8 , avec un reste 20644129.

1/32977340218432= 32068, exactement.

193 . — Extraction de la racine cubique par approximation. Lorsque le nombre proposé n’est pas le cube d’un autre nombre entier, le procédé ci-dessus ne donne que la partie entière de la racine. Quant à la fraction qui doit compléter la racine , nous avons déjàvu(n° 189 ) qu’elle ne peut être obtenue exactement; mais on peut trouver une autre fraction qui n’en diffère que d’une quantité aussi petite que l’on veut, d’après une règle analogue à celle du numéro 182 .

Soit , en général , proposé d’extraire la racine cubique, ou troisième, du nombre a (entier ou fractionnaire), à une frac-

tion près - .

t 1 ■ , , aXn 3

Le nombre a peut être mis sous la forme , — i

et si l’on

désigne par r la racinedu plus grand cube contenu dans un 3 , c’est-

à-dire la racine cubique de an 3 , à une unité près, le nombre

an 3 r 3 (r-f- i) f . . 3

-j- , ou a, est compris entre —, et — — ; donc aussi , y a est