NOTIONS SUR LES OPÉRATIONS

d’en faire connaître l’origine et la liaison , nous allons nous proposer quelques questions relatives au commerce.

Première question. — Un marchand de drap a vendu à une

2 • première personne, 5 mètres ^ d’ une certaine étoffe; à une se-

conde personne, 7 mètres - ; à une troisième, 1 3 mètres ^ de la

même étoffe ; il désire connaître le nombre total des mètres vendus.

Il faut, pour cela, qu’il réunisse en un seul nombre les trois nombres de mètres vendus; en d’autres termes, qu’il fasse I’addition de ces trois nombres composés dentiers et de fractions.

2' question . — Ces trois nombres de mètres ayant été levés sur

une même pièce dont la longueur était de 3o mètres -, le marchand veut savoir ce qui doit lui rester.

Il cherchera la différence entre le nombre 3o - qui exprimait la longueur primitive de la pièce, et le nombre total des mètres vendus, c’est-à-dire qu’il sera conduit à soustraire le second nombre du premier.

3' question. — Une personne a acheté. 48 mètres cT une certaine marchandise à raison de 2.5 francs le mètre ; on demande la somme qu'elle doit payer pour les 48 mètres.

11 est clair que pour obtenir le prix cherché , on doit prendre *48 fois 25 francs , ou faire un total de 48 nombres égaux à 25 francs. Cette opération s’appelle multiplication, et n’est qu’une espèce d’addition : elle consiste à ajouter ensemble plusieurs nombres égaux.

Reprenons la même question, en changeant toutefois les valeurs des nombres ou des données de la question.

Une personne a acheté — de mètre d'une certaine marchan-

dise, à' raison de — de franc le mètre ; on demande ce quelle.

doit payer pour les — - de mètre.

DF. L’ARITHMÉTIQUE. t'J

On conçoil nue si le inèti c coûte de franc, ~ de mètre, qui 1 20 12 1

ne sont qu’une partie du mètre, doivent coûter une partie de —

marquée par—- ; c’esl-à-dire que, pour obtenir la réponse à

la question , il faudra prendre les — • de — ; et cette opération

s’appelle une multiplication de /raclions. On la nomme ainsi parce que la question qui y donne lieu est absolument la même, aux données près , qu’une autre question qui conduirait à une multiplication de nombres entiers.

Au premier abord, le mot multiplication, qui présente gc'né» ralemcnt une idée d’augmentation , ne semble pas propre à désigner une opération.qui consiste à prendre •■d’un nombre une partie indiquée par une fraction. Mais on a trouvé le moyen de lier la multiplication des nombres entiers et la multiplication des fractions, en disant que multiplier un nombre , quel qu’il soit , par un autre , c’est former un troisième nombre qui soit composé avec le premier, comme le second est composé avec l’unité. Si les deux nombres sont entiers, il est clair, d’après cette définition , qu’il suffit de prendre le premier autant de fois qu’il y a d’unités dans le second ; et si les deux nombres sont des fractions, il faut prendre de la première fraction une partie indiquée par la seconde.

4 * question. — l 'ne personne a acheté 12 mètres d’une certaine étoffe pour la somme de 84 francs ; on demande le prix du mètre.

O11 conçoit que , si ce prix était connu , en le prenant 12 fois ou en le multipliant par 12, ondevraitavoirun résultat égal à 84. La question conduit donc à trouver un troisième nombre qui , multiplié par le second 12, reproduise le premier 84. Cette opération a reçu le nom de division.

Pour rendre raison de cette dénomination , qui donne l’idce delà séparation d’un nombre en plusieurs parties égales, supposons que l’on ait à partager également une somme de 84 francs entre 1 2 personnes. 11 est clair que, si la partdechaquepersonnc

l4 NOTIONS Sl’R LES OPERATIONS l)E I.’ ARITHMÉTIQUE.

était connue, en la multipliant par ■?. , on devrait produire 84. On voit donc que diviser un nombre 84 on autant de parties égales qu’il y a d’unités dans un nombre 11 , et chercher un troisième nombre qui, multiplié par un second 1 2 , reproduise le premier 84 , sont deux opérations identiques.

Reprenons la même question que ci-dessus, mais sur des données fractionnaires. Une personne a acheté g de métré

pour — de franc ; on demande le prix du mètre.

La question se réduit encore, dans ce cas, à trouver un troi- ■ièine nombre tel, qu’en en prenant les g, ou en le multipliant

par,., on reproduise — . On a donc encore une division a ef- * 6 r 20

fectuer, dans le sens qui vient d’être attribué à ce mot, et non dans le sens d’une séparation en parties égales.

Il nous serait facile de citer de nouvelles questions susccpibles de conduire aux quatre opérations dont nous venons de parler ; et puisque ces questions se présentent à chaque instant dans toutes les circonstances delà vie, il faut avoir des moyens d’exécuter les opérations que leur résolution exige.

L’Arithmétique a pour objet spécial d’établir des règles fixes et certaines pour effectuer toutes les opérations possibles sur les nombres. Cette première partie des Mathématiques comprend encore une foule de propriétés qui ont été découvertes à l’occasion des recherches qu’on a dû faire pour parvenir à ces règles, et pour en faciliter l’application. Nous allons les exposer successivement, en nous rappelant (n°î) que , pour rendre les règles indépendantes des diverses espèces de question, il convient de considérer les nombres comme des nombres abstraits. Toutefois , dans les applications destinées à familiariser les commençants avec les procédés, nous pourrons nous proposer des questions relatives à des nombres concrets.

Pour aller du simple au composé, nous commencerons par exposer les règles des opérations sur les nombres entiers.

DE l’aDDITIOP.