PAR APPROXIMATION

Règle générale. — Pour extraire la racine cubique d’une fraction décimale, à un degré d'approximation déterminé, faites en sorte (en plaçant à la droite de la fraction proposée un nombre convenable de zéros) que le nombre des chiffres décimaux soit triple de celui qu’on veut avoir à la racine ; supprimez la virgule ; puis extrayez la racine 3* du nombre résultant , à une unité près , et séparez vers la droite de cette racine le nombre de chiffres décimaux demandé.

Second cas. — Lorsqu’il s’agit d’un nombre fractionnaire quelconque , on le réduit d'abord en décimales ( n" 94), en poussant l'oj.ération jusqu’à ce qu’on ail au quotient trois fois autant de chiffres décimaux que l'on veut en avoir à la racine ; puis on opère comme dans le cas précédent.

Voici de nouvelles applications :

près ;

V/3,oo4i5 = i,44*g, ® près;

V 2.5 toi

a près ;

près.

49(5. Remarque sur l’extraction de la racine cubique des fractions.

Toutes les fois que l’on a à extraire la racine cubique d’une fraction, et que le degré d’approximation n’est pas fixé d’avance , on doit, comme pour la racine carrée (n° 488), faire subir au nombre proposé quelques transformations.

Soit ~ le nombre proposé , b étant supposé d’abord un nom-

bre premier , ou un produit de facteurs premiers élevés à la première puissance.

Commençons par rendre le dénominateur un cube parfait, en multipliant les deux termes paré’; la fraction se change

. ab l

alors en celle-ci, Désignant par r la partie entière de la

racine cubique de an’, on reconnaît aisément que ou ^

estcomprisentre^et- — ^ — .Donc y - est eue-meine com-

prise entre ^ et — ^ — ; ainsi ^ est la racine cubique de j aune

fraction près marquée par -r.

■Si l’on voulait une plus grande exactitude, il n’y aurait

qu’à rechercher une valeur plus approchée de \/ ab l , et diviser le résultat par b.

Lorsque le dénominateur b renferme des facteurs dont les uns sont des cubes parfaits, et les autres des carrés parfaits, la préparation à faire subir à la fraction est plus simple.

Soit, pour exemple, la fraction

Le nombre 36o est égal (n° 144) à a 3 . 3*. 5; donc, si l’on multiplie les deux termes de la fraction par 3 X 5’ ou h 5, la fraction pourra être mise sous la forme

Extradant la racine cubique de 8476 , à une unité près, ce

qui donne 20 , on trouve^ou^ pour la racine demandée, à 3o 3

3o' ,,ès -

La règle de l’extraction de la racine cubique des fractions décimales peut être considérée comme un cas particulier de cette dernière transformation.

Pour que le dénominateur d’une fraction décimale soit un cube parfait, c’est-à-dire soit égal à (to) 1 , ( 100 ) 1 , il faut

introduction. 3.65

rendre le nombre des chiffres décimaux multiple de trois, ce qui se fait en écrivant des zéros en nombre convenable.

Enfin, tout ce qui a été dit n°* 187et 188, sur la racine carrée des nombres , s’applique également à la racine cubique , et en général aux racines d’un degré quelconque.

Nous ne pouvons toutefois exposer dans ces éléments les procédés de l’extraction des racines d’un degré supérieur au 3', parce que ces procédés sont fondés sur la composition d’une puissance de degré quelconque d’un binôme, et que la formule qui a rapport à cette composition exige, pour être développée complètement , des connaissances assez étendues eu Algèbre- Nous donnerons, d’ailleurs, dans le dernier chapitre de cet ouvrage, un moyen abrégé d’effectuer les extractions de racines de tous les degrés.