CHAPITRE VII
Applications des règles de l’Arithmétique. — Théorie des Rapports et des Proportions
197. Introduction. — Après avoir fait connaître les procédés relatifs aux diverses opérations de l’Arithmétique, il nous reste une tâche assez difficile à remplir, c’est celle d’initier les commençants à la résolution de toutes sortes de questions sur les nombres.
On distingue deux genres principaux de questions , les théorèmes et les problèmes.
On peut avoir pour but de démontrer l’existence de certaines propriétés dont jouissent des nombres connus et donnés, auquel cas la question porte le nom de théorbme. Le cinquième chapitre offre une foule de questions de ce genre : les principes
DES RAPPORTS ET PROPORTIONS
sur la divisibilité des nombres, les propriétés des fractions décimales périodiques et des fractions continues, sont autant de théorèmes.
Ou bien , ou se propose de déterminer certains nombres d’après la connaissance d’autres nombres qui ont avec les premiers des relations indiquées par l’énoncé; et alors c’est un problème que l’on veut résoudre. Telles sont les questions que nous avons présentées , dans le cours des deux premiers chapitres, comme applications des diverses règles de l’Arithmétique.
Mais on peut avoir à résoudre des problèmes plus compliqués, dont les énoncés soient tels qu’on ait quelque peine à découvrir et à déterminer la série des opérations qu il faut effectuer sur les nombres connus et donnés , pour parvenir à la connaissance des nombres que Von cherche; c’est cette détermination qui constitue ce qu’on appelle Y analyse ou la résolution du problème. .
fl existe toutefois une certaine classe de problèmes pour la résolution desquels on peut établir des règles fixes et certaines : ce sont ceux qui dépendent de la théorie des rapports et des proportions. Il est donc naturel de commencer par le développement de cette théorie, qui , d’ailleurs, à cause de ses nombreuses applications, doit être regardée comme l’une des plus importantes des Mathématiques.
§ I. Des Rapports et des Proportions.
198. Nous avons déjà dit (n° i) qu’il n’y a point de grandeur absolue ; que , pour se former une idée d’une grandeur quelconque, il faut la comparer à une autre grandeur convenue, de même espèce, qui peut d’ailleurs être prise arbitrairement ou dans la nature. Le résultat de cette comparaison est ce que nous avons appelé nombre.
Mais si, au lieu de comparer une grandeur à son unité , on veut comparer deux grandeurs quelconques d’une même espèce, ce qui revient à comparer les deux nombres qui les ex-
DES RAPPORTS ET PROPORTIONS
priment, le résultat de celle comparaison est ce qui constitue le rapport tou la raison des deux nombres. Ces deux mots, rapport et raison, sont synonymes en Mathématique» , et expriment l’idée qu’on se fait d’une grandeur par le moyen d’une autre grandeur à laquelle on la compare , et qui doit etre essentiellement de même espèce.
Dans ce sens, un nombre est l’expression du rapport ou de la raison d’une grandeur à son unité.
En général , il y a deux manières de comparer deux grandeurs l’une à l’autre :
Ou bien , ou veut savoir de combien la plus grande surpasse la plus petite; et le résultat s’obtient en soustrayant la plus petite de la plus grande ;
Ou bien, on veut savoir combien de fois l'une contient l’autre, ou y est contenue, ce qui se fait en divisant les deux quantités l’une par l’autre.
Ainsi, soient et 6 les deux nombres que l’on veut comparé;
On a a 4 — 6 = 18, et ^ = 4 •
« Le résultat de la comparaison par soustraction , est 18 ; tandis que le résultat de la comparaison par division, est 4-
Pour distinguer ces deux espèces de rapports , on appelait autrefois le premier, rapport arithmétique , et le second, rapport géométrique. Mai» ces dénominations insignifiantes sont maintenant remplacées par celles-ci : pour la première espèce, rapport par soustraction , ou simplement différence , parce que c’est le résultat d’une soustraction; et pour la seconde, rapport par division , ou simplement rapport , parce que c’est presque toujours pour savoir combien de fois l’une des quantités contient l’autre, que l’on compare deux grandeurs en Mathématiques.
Par exemple, dans la théorie des nombres complexes, le rapport de l’unité principale d’une certaine nature à l’une de ses subdivisions , ou le rapport de deux subdivisions entre elles, n’est autre chose que le nombre de fois que l’une contient
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l’autre. Dans la comparaison du nouveau système des poids et mesures â l’ancien , le rapport du mètre à la toise, et celui de la toise au mètre, le rapport du kilogramme à la livrepoids , et celui de la livre-poids au kilogramme, sont les nombres entiers ou fractionnaires qui résultent de la division de deux nombres exprimant en unités de même espèce , les mesures que l’on oompare.
Ainsi dorénavant , lorsque nous nous servirons du mot rapport, il exprimera le résultat ou le quotient de la division de deux nombres ; et si nous voulons exprimer que deux nombres sont comparés entre eux par soustraction, nous emploierons la dénomination de différence , ou de rapport par soustraction.
Dans tout rapport, soit par soustraction, soit par division, on distingue deux termes, qui sont les nombres que Pou compare. Le terme qu’on énonce ou qu’on écrit le premier, s’appelle antécédent, çt le second, conséquent.
199 . Lorsque deux rapports par soustraction sont cgjux , l’ensemble des quatre nombres qui les constituent s’appelle une équi-différence , comme étant l’expression de deux différences égales. (On l’appelait autrefois proportion arithmétique.)
Par exemple, soient les quatre nombres 12, 5 , 27, 17; comme la différence de 12 à 5 est 7, et que la différence de 24 à 17 est aussi 7, on dit que ces grandeurs forment une équidifférence , que l’on écrit ainsi :
en plaçant un point entre le premier et le second terme , deux points entre le second et le troisième, et un point entre le troisième et le quatrième.
On l’énonce d’ailleurs de la manière suivante:
1 2 est à 5 comme 24 est à 1 7 ;
ce qui veut dire que 12 surpasse 5 d’autant d’unités que 24 surpasse 17.
DES BAPEOHTS ET PROPORTIONS. ?.6t|
Ou peut aussi l’écrire, d’après les notations déjà adoptées: 12 — 5= 2.4 — 1 7 .
Le premier et le troisième terme, 12 et 2.4, se nomment les antécédents del’équi-difTerence; le seconde! le quatrième s’appellent les conséquents ; ces dénominations s’accordent avec celles qui ont été données aux deux termes d’un rapport par soustraction.
Le premier et le dernier terme, 12 et 17 , se nomment aussi Us deux extrêmes ; le second et le troisième, 5 et 24 , sont dits les deux moyens.
200 . Lorsque deux rapports par division sont égaux, l’ensemble des quatre nombres qui les constituent, s’appelle une proportion (autrefois proportion géométrique ; on pourrait le nommer encore tin équi-quotient , comme étant Vexpression de deux quotients égaux. Mais le mot proportion est généralement adopté).
Soient, par exemple, les quatre nombres i5, 5, 36, 12 ; le rapport de i5 à 5, ou le quotient de i5 par 5, étant 3, ainsi que le rapport de 36 à 12 , ces quatre nombres forment une proportion , que l’on écrit ainsi :
en plaçant deux points entre le premier et le deuxième, quatre points entre le second et le troisième, et deux entre le troisième et le quatrième.
O 11 l’énonce d’ailleurs comme une équi-différence : i5 est à 5 comme 36 est à 12 ; ce qui veut dire que i5 contient 5 autant de fois que 36 contient 12 . Aussi peut-on l’écrire encore sous
cette autre iorme : = — .
Les dénominations des termes sont du reste les mêmes que dans les équi-dift'érences.
Ainsi i5 et 36 sont les antécédents; 5 et 12 sont les conséquents. Enfin i5 et 12 sont appelés les extrêmes; 5 et 36 les moyens de la proportion.
2^0 DES ÉQUI -DIFFÉRENCES.
Les équi -différences et les proportions, celles-ci surtout, jouissent de plusieurs propriétés que nous allons développer successivement.
Des Êqui-différences.
201. On appelle équi-différence (n° 199 ) l’expression de l’égalité des deux différences.
Propriété fondamentale. — Dans toute équi-différence, la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens.
Soit l'équi-différence 1 1 .7 : 19 . i 5 ; on a évidemment 11 + 15 = 7-1-19.
Mais pour nous rendre compte de cette proposition d’une manière générale, observons que, si les conséquents étaient égaux à leurs antécédents, que l’on eût , par exemple ,
