la proposition serait manifeste

Or, pour ramener l’équi-difTérence à cet état , il suffit d’augmenter chacun des conséquents, de la même différence l\. Mais par cette addition , on a évidemment augmenté l’un des moyens et l’un des extrêmes, du même nombre 4; ainsi, la somme des moyens et la somme des extrêmes se trouvent augmentées en même temps de ce même nombre. Donc, puisque , après cette addition , les deux sommes sont égales , les précédentes l’étaient aussi. C. Q. F. D.

Remarquons d’ailleurs que, s’il n’y avait [ms équi-différence entre les quatre nombres , il faudrait , pour rendre les conséquents égaux à leurs antécédents, ajouter à chacun d’eux un nombre différent ; et, puisque, après cette addition, la somme des extrêmes deviendrait égale à celle des moyens, il s’ensuit que les deux sommes devaient être inégales avant l’addition.

Donc , si quatre nombres , énoncés dans un certain ordre, ou écrits sur une même ligne, forment une équi-différence , la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens.

DES ÉQUI— DIFFÉRENCES. 271

Réciproquement, si la somme du premier et du dernier nombre est égale à la somme du second et du troisième, ou si la somme des extrêmes est égale à celle des moyens, les quatre nombres forment une équi-dijfèrence , dans l' ordre où ils sont énoncés ou écrits. Car s’il n’y avait pas équi-diflérence, on vient de voir que la somme des extrêmes ne serait pas égale à celle des moyens ; ce qui serait contraire à la supposition.

N. U. — Il peut arriver que les antécédents soient plus petits que leurs conséquents, comme dans l’équi-diflférence

Mais les raisonnements seraient les mêmes que dans le cas précédent; il suffirait d’ajouter aux deux antécédents la différence commune 5; ce qui reviendrait à ajouter le même nombre à la somme des extrêmes et à la somme des moyens.

Voyonsavec quelle précision les notations algébriques s’appliquent à la propriété précédente et à sa réciproque.

Soient quatre nombres a, b ,c, d, que nous supposons former entre eux une équi— différence :

On a donc a.b'.c.d, ou bien encore a — b — c—d.

Cela posé , ajoutons aux deux membres de cette égalité, la somme b d, il vient

a — b -J- b -f- d = c — d -f- b -f- d, ou réduisant, a -f- d — c -f- b\

donc la somme des extrêmes a et d est égale à la somme des moyens c et b.

Réciproquement, soient quatre nombres a, b,c l d, tels que l’on ait a -|- d= b c;

retranchons b -f- d des deux membres de cette égalité ; il vient a-\-d — 6— </=6-j-c — b — d,

ou , réduisant, a — b—c — d,

ou a b ’.c.d.

272 DES KQUI -DIFFÉRENCES.

Donc , ces quatre nombres forment une équi-diffèrence dont les extrêmes sont les deux termes de l’une des deux sommes, et les moyens les deux termes de l’autre.

202 . Conséquence. — Il résulte de la propriété précédente, que, connaissant trois termes d’une équi-diffèrence, on obtiendra le quatrième, si c’est un extrême, en retranchant de la somme des moyens , l’extrême connu, et, si c’est un moyen, en retranchant de la somme des extrêmes, le moyen connu. Ainsi, soit l’équi-différence

(x désignant le terme inconnu).

Comme on a , d’après la propriété fondamentale ,

il en résulte x= 11+49 — 23 = 37; ce qui donne

Pareillement , dans l’équi-différence 3 i . 25 : x . 78,

on a x -(- 25 = 3 t -f- 78;

d’où x — 3 1 -f 78 — 25 = 84 ,

et par conséquent, 3 i . 25 : 84 • 78.

205 . Quelquefois, on est conduit à considérer une équi-différence dont les deux moyens sont égaux ; elle s’appelle alors une équi-diffèrence continue (ou proportion arithmétique continue).

Par exemple ,

est une équi-différcnce continue.

Comme, dans ce cas, le double de l’un des moyens doit, en vertu de la propriété ci-dessus , être égal à la somme des

DES ÉQl'I-Dtrrf.hENCES. >.73

extrêmes, il s’ensuit que ce moyen est égal à la demi-somme des deux extrêmes.

Ainsi, dans 1 ’équi-différence

on a x = — = in.

Cette valeur de x est ce qu’ou appelle un moyen différentiel (ou un moyen proportionnel arithmétique) entre les deux nombres 23 et 49 -