Voici quelques autres propriétés des équi-différences

On peut augmenter les deux antécédents ou les diminuer, augmenter les deux conséquents ou les diminuer, augmenter soit les deux premiers termes , soit les deux derniers , ou les diminuer d’un même nombre, sans que l’équi -différence cesse d’exister.

En effet, il est évident que, par ces diverses transformations, on augmente ou l’on diminue d’un même nombre la somme des extrêmes et celle des moyens; ainsi, l’égalité des deux sommes n'est pas troublée ; et il en est de même de l’équidilFérence, en vertu de la réciproque de la propriété fondamentale.

On peut également intervertir l’ordre des deux extrêmes , •

celui des deux moyens, ou bien mettre les moyens à la placides extrêmes, sans troubler l’équi-difTércnce ; car il est évident qu’après ces mutations, la somme des extrêmes est encore égale à celle des moyens.

En général , toute transformation exécutée sur une équidiflcrence, et telle que la somme des extrêmes reste égale à la somme des moyens , ne détruit pas l’équi-différence.

Mais il est inutile d’insister davantage surjes propriétés des équi-difTéiences , parce qu'elles sont de fort peu d’usage.

Passons aux propriétés des proportions proprement dites, ou autrement, des proportions géométriques.

Ai ilh. n.

PHOPtllÉTÉS

Des Proportions.

205. Ou entend ( n“ 805) par proportion, l’expression de l’égalité de deux rapports ou quotients.

Lorsque quatre nombres sont en proportion , le rapport commun qui existe entre les deux premiers termes et entre les deux derniers , peut être , ou un nombre entier, ou un nombre fractionnaire, ou une fraction proprement dite.

Soient , par exemple , les proportions

Dans la première , le rapport commun est 3 ; dans la se-

ronde, on a — =; — — 5-; donc le rapport commun est un 9 27 3

nombre essentiellement fractionnaire.

Enfin, dans la troisième, ona^=-^, en supprimant le

facteur 4 commun aux deux termes; ainsi la fraction — est le

rapport commun.

Propriété fondamentale. — Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal à celui des mojrcns.

En effet, cette propriété serait évidente, si , au lieu d’une proportion telle que

on en avait une dont les antécédents fussent égaux à leurs conséquents, si l’on avait, par exemple,

Or, pour ramener la première proportion à cet état, il suffit évidemment de multiplier chaque conséquent par le rapport commun 3 ; mais, par cette multiplication., l’un des moyens et

DES PUOPOKTIONS.

«■jS

l'un îles extrêmes sont multiplies par un même nombre ; ainsi , il en est de même du produit des extrêmes et du produit des moyens; et, puisque alors les deux produits résultants sont égaux , les produits primitifs l'étaient aussi. C. Q. F. D.

Observons d’ailleurs que, si les quatre nombres donnés ne formaient pas une proportion , il faudrait, pour rendre les conséquents égaux à leurs antécédents, multiplier cescouséquenis chacun par un nombre différent qui exprimerait le rapport du premier terme au second , ou du troisième terme au quatrième; et comme, après cette multiplication, le produit des extrêmes deviendrait égal à celui des moyens, il eu résulte qu’avant la multiplication, les deux produits n’étaient pas égaux.

D’où l’on peut conclure que si quatre nombres, énoncés ou écrits dans un certain ordre, sont en proportion, le produit des extrêmes est égal à celui des moyens.

Réciproquement, si le produit des deux termes extrêmes est égal à celui des moyens, les nombres forment une proportion dans l’ordre ou ils sont énoncés ou écrits (’ar, s’il n'y avait pas proportion entre ces quatre nombres , on vient de voir que le produit des extrêmes ne serait pas égal à celui des moyens, ce qui serait contraire à la supposition établie.

Appliquons les notations algébriques à la démonstration de celte propriété et de sa réciproque.

Soient quatre nombres a , b,c ,d , en proportion , c'csl-àrdiic tels qu’on ait a : b ;; c d, ou, ce qui revient au même,

Multiplions les deux membres de celle égalité par bd il abd ebd

vient —y— = — — ,

ou , réduisant , ad bc.

Donc le produit des extrêmes, ad , est égal nu produit des moyens, bc.

Réciproquement , soient quatre nombres a, h ,<■ , d, tels qui.

aiyti propriétés

Kon ail aX.tl=b'Xc\

divisons les deux membres de celle égalité par b X d\ il a X d b X c

v,e,,t r><d~ jrxd'

ou, en supprimant les facteurs communs, ^ — c est-a-dire

Donc les quatre nombres Jorment une proportion dont les extrêmes sont les facteurs de. l J un des deux produits, et dont les moyens sont les fadeurs de l'autre.

206 . Conséquence. — De cette propriété fondamentale il résulte que, connaissant trois termes d’une proportion, on doit, pour obtenir le quatrième , si c’est un extrême, diviser le produit des moyens par l’extrême connu ; et, si c’est un moyen, diviser le produit des extrêmes par le moyen connu.

Ainsi, soit la proportion 18 ; 24 7 2 ' x i

comme on a i8x* = î‘|

il en résulte

ce qui donne 18 : 24 G 72 : 96.

207 . Il peut arriver que les deux moyens d’une proportion soient égaux entre eux , comme dans celle-ci s

la proportion est dite alors une proportion continue. Dans ce ras, le produit des deux moyens devenant le carré de chacun d’eux, il s’ensuit que ce carré est égal au produit des extrêmes ; donc chacun des moyens a pour valeur la racine carrée du produit des extrêmes.

Soit, par exemple, la proportion 5 o : x :: ar. 8, r étant le moyen terme inconnu d’une proportion continue; on a

i’ = 5oX8 = 4°° ,

DES -PROPOlmOKS. fj 1

d’où l’on déduit x= ^4 00== 20 i ce qui donne 5o : 20 ” 20 ; 8.

En général, soit la proportion a x x \ b \ il eu résulte *' = a X b , d’où x =. l/ a X b. Cette valeur de x est ce qu’on appelle un moyen proportionnel entre les deux nombres a et b.

208. Autres propriétés. — On peut multiplier ou diviser les deux premiers termes, ou les deux derniers, par un même nombre, sans altérer la proportion.

En effet , le rapport des deux premiers termes, ou celui des deux derniers , n’est autre chose (n° 198) que le quotient d’une division dont le dividende est l’antccédent, et le diviseur le conséquent; et l’on sait qu’en multipliant ou divisant les deux termes d’une division par un même nombre , on 11e change pas la valeur du quotient.

On peut égalemen l multiplier ou diviser les deux antécédents, multiplier ou diviser les deux conséquents, par un même nombre, sans altérer la proportion.

Car, par ces transformations , on multiplie ou l’on divise à la fois l’un des extrêmes et l’un des moyens par un même nombre; donc le produit des extrêmes reste toujours égal à celui des moyens. Or, d’après la réciproque de la propriété fondamentale, c’est une condition suffisante pour que les quatre nombres soient en proportion.

On peut encore, comme dans Péqui-tlifférence , intervertir l'ordre des extrêmes d’une proportion et celui des moyens, ou bien , mettre les extrêmes à la place des moyens , sans que la proportion cesse d’exister entre les quatre termes.

Par exemple , de la proportion on déduit alternativement ,

i°. en échangeant les extrêmes. . .

a“. eu échangeant les moyens. . . .

3°. en mettant les moyens à la

place des extrêmes

278 propriétés

Le rapport commun est différent d’une proportion à l’autre ;

ainsi ce rapport est 3 dans la première, — dans la seconde,

-^dans la troisième, et ^ ou ^ dans la quatrième. Mais chaque proponioh n'en existe pas moins , puisque, après ces mutations , il est évident que le produit des extrêmes reste toujours égal à celui des moyens.

N. U. — Les anciens auteurs de Géométrie désignaient par les dénominations de altcrnando et invertendo , les diverses mutations que l’on fait éprouver aux termes d’une proportion.

Les transformations qui consistent à multiplier ou diviserles termes, s'appelaient multiplicando ou dividendo.

Les propriétés suivantes sont d’un usage continuel en Géométrie, et méritent toute l’attention des commençants.

200. Première propriété. — Dans toute proportion, la somme ou la différence des deux premiers termes est au second terme, comme la somme ou la différence des deux derniers est au quatrième.

Ainsi, dans la proportion 72 : 24 ” 4^ • *5, ou a, en ajoutant, 72 -j- 24 : 24 ” 4® ■+* *5 : >5,

et en soustrayant , 72 — 24 24 :: (\ô — i5 : i5,

proportions que l’on peut vérifier facilement.

Pour nous rendre compte de cette propriété d’une manière générale, observons qu’en augmentant ou diminuant chaque antécédent, de son conséquent, on ne fait qu'augmenter ou diminuer d’une unité, chacun des deux rapports ; et puisque les rapports primitifs étaient égaux, les rapports résultants le sont aussi.

De la proportion 72 dr 24 24 “ ^5 ± i 5 ^ i5 ( dt se prononce plus ou moins ) , on déduit, en changeant les moyens de place (n° 208),

72 rt 24 : 45 — 1 5 : ; 24 : 1 5 ;

DES PHOPOKTIUNS.

mais on a déjà 72 I it\ : >.j 5 : i 5 ,

ou bien, 72 : 45 :: 24 1 5 ;

donc, comme deux nombres égaux à uu troisième sont nécessairement égaux entre eux , il s’ensuit encore

72 di 24 ; 45 — >5 ;; 72 ; 4 ^,

ou bien 72 ±: 24 î 72 ;; 4^ — '5 ; 4^-

On peut donc dire aussi que, dans toute proportion, la somme ou la différence des deux premiers termes est au premier terme, comme la somme ou la différence des deux derniers est au troisième, énoncé qu’il serait facile de comprendre en un seul avec l’énoncé ci-dessus.

210. Seconde propriété. — Dans toute proportion, lasomme ou la différence des antécédents est à la somme ou à la différence des conséquents , comme un quelconque des antécédents est à son conséquent.

Reprenons la proportion ci-dessus , 72 : 2.4 " 45 » 5 , et changeons les moyens de place ; il vient

Or, rien n 'empêcha d’appliquer à cette nouvelle proportion la propriété du numéro précédent ; et l’on aura

ou , changeant les moyens de place ,

72 ±: 45 : 24 ± »5 :: 45 : i 5 , ou :: 72 : 24.

Dette proportion , énoncée en langage ordinaire , et comparée à la proportion 72 : 24 ” 4 ® • > 5 , démontre évidemment la propriété énoncée.

Si, dans la proportion 72 :r 45 : i 5 ;; 45 1 i 5 , on con-

sidère d’abord les deux signes supérieurs, puis les deux signes inférieurs, on en déduit successivement

j8o propriétés

d’où , à cause du rapport comi|un ,

ou bien , eu changeant les moyens de place ,

c’est-à-dire que , dans toute proportion , la somme des antécédents est à leur différence , comme la somme des conséquents est à leur différence.

211. Conséquences de cette propriété. — i°. Soit une suite de nombres a, b , c, d, e, f, g, h, i, k, . . . , tels que l’on ait

je dis que , dans cette suite de rapports égaux , la somme de tous les antécédents a , c , e , g , i , . . . est à la somme de tous les conséquents b , d , f , h, k, . . . comme un antécédent quelconque est à son conséquent.

En effet , les deux premiers rapports a\b \\ c d

donnent, en vertu de la

propriété précédente, .. a -J- c- ; b + <f ;i c : d ;

mais, comme on a c : d ” e \f,

il en résulte. a + c \ b d\\ e\ f\

d’où , appliquant à cette nouvelle proportion , la

même propriété a+ c + e ; 6 d-\-f\\e\f-,

mais on a encore e \f\\ g\ h-,

donc a + c + e:b + d+f::g:h-,

et par conséquent u + c 4-e-i-g: b + d+fA- h’.'.g'.h -,

et ainsi de suite , quel que soit le nombre des rapports égaux.

2 0 . Soient deux fractions égales, — , - ; si l‘on fait la somme des numérateurs et celle des dénominateurs, il en résulte une nouvelle fraction , -j-g , égale à chacune des fractions proposées. (

OfcS PROPORTIONS.

lin effet , l’égalité — = 5, revientà la proportion 8 : 12 '.'. 1 :3;

d’où , en appliquant la propriété ci-dessus ,

donc

Il en serait de meme si l’on faisait la différence des numérateurs et celle des dénominateurs.

Les transformations qui se rapportent aux propriétés précédentes, se désignaient autrefois par les mots addendo et subslrahendo.

2iS. Troisième propriété. — Si T on a un nombre quelconque de proportions , et qu’ apres les avoir placées les unes au- dessous des autres , on les multiplie par ordre , les produits résultants seront encore en proportion.

Soient, par exemple , les trois proportions

il résulte d’abord de leur définition, qu’elles peuvent être écrites ainsi :

i5 Sô ’

Cela posé, si l’on multiplie ces égalités membre à membre, il en résultera nécessairement des produits égaux. Or, en effectuant cette opération d’après la règle de la multiplication des

fractions (vojez „» 89), on a * X

* " 8 X i5 x t 2 32 X bo X i5’

d’où 3X7X4o:»Xi5xi2:: i2X?-8x5o:32x6oX i5,