PROPRIÉTÉS

ou , eflectuant les calculs , *

840 ; >44° •• >88oo ; 28800.

On peut facilement constater l’exactitude de cette dernière ^ proportion : car en divisant les deux derniers termes successivement par 10 et par 2, on trouve

proportion évidente, qu’on appelle proportion identique.

N. B. — Il est à remarquer que , d’après la nature des opérations qui viennent d’ètre effectuées, le rapport commun de la

proportion précédente, savoir

, est égal au produit

des trois rapports des proportions données.

Ainsi , les trois rapports étant, comme il est facile de le vé-

rifier, 5 , — — -, on a pour leur produit, r- , ou, en sup-

primant le facteur 3o commun aux deux termes, — , résultat

auquel la fraction peut être réduite par la suppression du facteur commun 120.

Ce rapport, qui provient de la multiplication de plusieurs autres rapports, est appelé par les arithméticiens , rapport composé.

L’opération qui a fait l’objet de la propriété précédente, se désignait autrefois par le mot componendo.

215. Conséquences de cette propriété. — 1®. Lorsque quatre nombres sont en proportion, les carrés , les cubes , et en général les puissances semblables de ces nombres , sont aussi en proportion.

Pour nous rendre compté de cette conséquence , il suffit d’observer que, d’après la propriété précédente, plusieurs

!>ES PIIOPOKTIOSS.

proportions semblables, multipliées par ordre, donneraient lieu à des produits eu proportiou.

a 0 . Réciproquement , lorsque quatre nombres soûl en proportion, les racines carrées , cubiques , quatrièmes , . . de ces nombres , sont en proportion.

Soit la proportion a : b

c d, ou

Puisque les deux rapports j, sont égaux , les racines carrées de ces rapports sont aussi égales ; et l’on a

Mais, pour extraire la racine carrée d’une fraction, il faut (n° 187) extraire la racine carrée du numérateur et celle du dénominateur, ce qui donne

donc

V < - Vd'

— ? = , ou bien , i/o ; ^ b \\ {/ c y d.

Le raisonnement serait le même pour la racine cubique, ou pour une racine de degré quelconque, en partant de ce principe général , que pour extraire une racine de degré quelconque d’une fraction, il faut extraire la racine du numérateur et celle du dénominateur.

214 Remarque. — Lorsque les nombres a, b, c,d, nesontpas des carrés parfaits , les quantités y a, yb,yc,yd, sont des nombres irrationnels; et la proportion ci-dessus a lieu alors entre des nombres incommensurables-, c’est-à-dire que l’on est conduit à considérer des rapports entre des nombres incommensurables , rapports qui, en général, sont eux -mêmes irrationnels; et il s’agirait de savoir si l’on peut attribuer à des proportions de cette espèce toutes les propriétés qui ont été établies précédemment.

Pour reconnaître que la réponse est affirmative, il suffit de sc rappeler ce qui a été dit précédemment (n“* 182 et 195), qu’un