DBS RAPPORTS DIRECTS OU INVERSES

ment des longueurs, et les deux autres sont encore les prix de res longueurs. Chacun des deux prix est dit le terme correspondant à la longueur estimée par ce prix.

Enfin , dans le troisième exemple , on considère deux nom* lires d'hommes , et les deux nombres de jours employés par ces nombres d’hommes à faire un certain ouvrage. Le nombre de jours employé par le premier nombre d’hommes est dit le correspondant de ce nombre d’hommes ; et le second nombre de jours est le correspondant du second nombre d’hommes.

Cela posé , on dit qu’il y a relation directe entre les deux nombres de la première espèce et les nombres de la seconde , ou bien que les deux nombres de la première espèce sont directement proportionnels à leurs correspondants de la seconde , lorsque , après avoir constaté qu’il y a proportion entre les quatre nombres , on a reconnu de plus que chaque nombre croît ou décroît en même temps que son correspondant; et alors l’un des nombres de la première espèce, et son correspondant de la seconde espèce , doivent former les deux antécédents de la proportion , tandis qfte l’autre terme de la première espèce , et son correspondant de la seconde , doivent former les deux conséquents ; c’est-à-dire qu’un terme de la première espèce , et son correspondant de la seconde , doivent former un extrême et un moyen, et que l’autre terme de la première espèce, et son correspondant, doivent former un moyen et un extrême.

Au contraire , il y a relation indirecte entre les quatre nombres, ou bien les deux nombres de la première espèce sont dits réciproquement ou inversement proportionnels à leurs correspondants,, lorsque chaque terme croît quand son correspondant décroît, et vice versé; et alors chacun des termes de la première espèce et son correspondant , doivent former les deux extrêmes , tandis que l’autre terme de la première espèce et son correspondant doivent former les deux moyens.

En reprenant les proportions des trois exemples déjà traités, on voit aisément que , dans les deux premières , il y a relation directe entre les quatre nombres, c’est-à-dire <|ue les deux

DES RAPPORTS DIRECTS OU INVERSES. afiq

poids ou les deux longueurs sont directement proportionnels aux deux prix ; mais que, dans la troisième, il y a relation indirecte, ou bien, que les deux nombres d’hommes sont réciproquement proportionnels aux deux nombres de jours (*).

Au reste , l’analyse du problème fait toujours reconnaître si la relation est directe ou indirecte. 11 ne s’agit que de savoir, après avoir toutefois constaté la proportionnalité, si , une des grandeurs de la première espèce augmentant ou diminuant, sa correspondante doit augmenter ou dimirrtier, ou bien , si au contraire, une grandeur de la première espèce augmentant ou diminuant, sa correspondante doit diminuer ou augmenter Dans le premier cas , il y a relation directe , ou les deux nombres de la première espèce sont diieclement proportionnels à leurs correspondants j dam le second, il y a rclationjndirecte , c’est-à-dire que les deux nombres de la première espèce sont réciproquement proportionnels à leurs correspondants.

On dit encore , dans le premier cas , que chaque grandeur de la première espèce est en raison directe de sa correspondante, et dans le second , qu’elle est en raison inverse de sa correspondante.

Par exemple, le prix d’une certaine marchandise est en raison directe du nombre d’unités de cette marchandise, parce que plus il y a d’unités de cette marchandise , plus il faut payer pour ce nombre d’unilés ; au contraire, le nombre de jours nécessaire à un certain nombre d’hommes pour faire un ouvrage, esten raison inverse du nombre d’hommes, parce que plus il y a d’hommes pour faire cet ouvrage, moins il faut de jours.

217. Ces locutions, quoique vicieusés, sont souvent employées en Mathématiques. Ainsi, en parlant de deux fraction* qui ont même dénominateur, on dit qu'elles sont en raison di-

) l.e» (iL-nominaiiom de relation directe ri de relation indirecte ont etc propotràs par M-uiduic , l'un de» nu-illcnr» .vitcnu de (miles d’Alrlhn u* tique.

4 rilh. R, |(|

21)0 DES HAPPOHTS DIKECTS OL' INTEHSE».

recle de leurs numérateurs , cl de deux fractions qui ont même numérateur, qu’elles sont en raison inverse de leurs dénominateurs.

Pour interpréter ces deux expressions, considérons d'abord

les deux fractions —, —, qui ont même dénominateur.

On a évidemment la proportion ~ •• 1 • 11 »

puisque le second* rapport n’est autre chose que le premier dont les deux termes ont été multipliés par 12 .

Or la fraction — et le numérateur 7 qui lui correspond

forment les deux antécédents, tandis que la fraction — et le

numérateur 1 1 qui lui correspond , forment les deux conséquents. Ainsi, les deux fractions sont directement proportionnelles à leurs numérateurs-, ou Lien elles sont en raison directe de leurs numérateurs.

Soient maintenant les fractions — x et b qui ont même nu-

mérateur.

On a d abord la proportion — : •• ^3 ' 3 g’ l )u,S( l ue

second rapport 11 ’est autre chose que le premier dont les deux termes ont été divisés par t5.

Mais , si l’on multiplie les deux termes du second rapport de cette proportion par 23 X 36 , il viendra , réduction faite.

Or la première fraction — et son dénominateur 23, forment

les extrêmes d’une proportion dont la seconde fraction —

et son dénominateur 36, forment les moyens. Ainsi les deux fractions sont réciproquement proportionnelles à leurs déno-

OIM RAPPORTS DIRECTS Ot INVERSES. 201

flliualeurs ; ou bien, elles sont en raison inverse de lcuis dénominateurs.

Ou a vu d’ailleurs (n" 45 ) qu’une fraction est d’autant plus grande que son numérateur est plus grand , le dénominateur restant le même , et qu’au contraire , elle est d'autant plus petite que soiPdénominateur est plus grand , le numérateur restant le même.

Nous avons cru devoir donner quelques développements à ces principes, parce que nous avons remarqtfé que les jeunes gens se trompent souvent dans la résolution des questions relatives aux proportions, faute de notions suffisantes sur la manière de les établir convenablement.

218 . 11 est d’usage , lorsqu’on a à résoudre une question dépendant de la réglé de trois, de faire en sorte que le dernier terme de la proportion soit le tenue inconnu.

Pour satisfaire à cette condition , on commence par écrire le rapport des deux termes de l’espèce dont l’inconnue fait partie. Ensuite, après avoir reconnu par l’analyse du problème si la relation entre les quatre nombres est directe ou inverse , on place l’autre rapport à la gauche de celui-ci, de manière que le terme dont x est le correspondant soit le premier moyen ou le premier extrême , suivant que la relation est directe ou inverse. {Voyez n° 210 .)

Quatrième exemple. — On suppose que 45 ouvriers aient fait 280 métrés de maçonnerie ; et l’on demande combien -j 6 hommes feront du même ouvrage dans le même temps.

Soit x le nombre de mètres cherché ; on écrira d’abord le

rapport 280 C x;

ensuite on observera que plus il y a d’hommes, plus ils font d’ouvrage; ainsi, la relation est directe ; donc, x étant un conséquent ou un extrême , son correspondant 76 doit être le premier conséquent ou le premier moyen , et l’on aura

d ou I on me x — — 47* a °> 01 P ,e *

UE LA HÈCLE DE THOtS COMPOSÉE.

' ayu

Cinquième exemple. — Un équipage, de vaisseau n’a plus que . pour 20 jours de vivres , et cependant il doit encore tenir la mer pendant 35 jours. On demande à combien on doit réduire la ration journalière de chaque individu ?

Analyse . — Soient i la ration ordinaire de chaque individu, et x celle qui doit lui être délivrée, vu les circonstances où l’equipage se trouve ; il est clair que cette nouvelle ration doit être 2 fois, 3 fois. . . . plus petite, par rapport à la première, si le nombre de joiîrs pendant lequel le vaisseau restera en mer devient 2 fois, 3 fois.... plus considérable. Ainsi, les deux rations sont inversement proportionnelles aux deux nombres de jours.

Donc, si l’on pose le rapport i : x,

le nombre 35 dont x est le correspondant , doit former le premier extrême , puisque x est le second , et l’on écrira

d’où x — C’est-à-dire que la ration de chaque indi-

vidu doit être réduite aux - de la ration ordinaire.

Autre solution. — Ou peut parvenir à ce même résultat sans le secours des proportions, et d’une manière plus simple.

Admettons pour le moment qu’il n’y ait plus qu’une seule ration ordinaire par chaque individu, pour tenir la mer pendant 35 jours; la ration journalière se trouvera alors réduite

à de la ration ordinaire ; mais comme , d’après l’énoncé, il

y a 20 rations par chaque individu , il s’ensuit que la ration actuelle doit êt tion ordinaire.

actuelle doit être X 20 , ou^, c’est-à-dire les - de la ra 35 35 7

219. Règle de trois composée. — On nomme ainsi l’opération par laquelle on détermine le quatrième terme d’une proportion résultant de la multiplication de deux ou de plusieurs autres.

DE IA HÈCLE UE TKOIS COMPOSÉE. 2Ç)3

Sixième exemple. — 20 ouvriers ont employé 18 jours à faire 5 oo métrés d'un certain ouvrage ; on demande en combien de jours 76 ouvriers feront 1 2.65 mètres du même ouvrage.

Analyse. — Cet énoncé donne lieu à considérer trois rapports, savoir^, le rapport des deux nombres d’ouvriers, celui des deux nombres de jours, et le rapport des deux ouvrages. Mais , pour simplifier la question et la ramener aux questions précédentes, nous supposerons d’abord que l’ouvrage A faire par les deux troupes d’ouvriers soit le même et égal au premier, 5 oo mètres. Alors la question reviendra à celle-ci : 20 ouvriers ont employé 18 jours à faire 5 oo mitres d un certain ouvrage ; combien 76 ouvriers emploieront-ils de jours faire ce même ouvrage. ?

Ici , il y a évidemment proportion (avec relation indirecte) cuire les deux nombres d’ouvriers et les deux nombres de jours. Ainsi, désignant par x non pas le nombre de jours qui correspond au premier énoncé, mais celui qu’on cherche d’après le nouvel énoncé, on aura la proportion

On pourrait tirer de cette proportion la valeur de x ; mais nous allons voir que cela est inutile. Il suffît seulement de raisonner sur x , en le considérant comme déjà connu d’après cette proportion.

Observons maintenant que, .r étant le nombre de jours nécessaire aux 76 ouvriers pour faire les 5 oo mitres , il ne s’agit plus que de savoir combien il leur faut de jours pour faire les 1 205 mitres.

Or, le nombre des ouvriers étant le même, si l’ouvrage devient double, triple, etc. , le nombre de jours devra être double , triple , etc. ; ainsi , il y a proportion (avec relation directe)-, et si l’on désigne par x ( x prime) le nombre de jours cherché (c’est alors le nombre inconnu du premier énoncé) , on aura lu nouvelle proportion

5 oo ; 1265 x : x . . . (2)