DE LA RÈGLE DE TROIS COMPOSÉE

(5oo et x forment un extrême et un moyen , parce que la relation est directe. )

Multiplions actuellement, terme à terme, les deux proportions (i ) et (2), il en résultera (n°2l5)

76 x 5 oo : 20 x 1265 :: 18 x x : x x x' ,

ou , supprimant le facteur x commun Jermes ,

76 x 5 oo : jox 1 a 65 : : 1

, 20 Xt 2 fi 5 xi 8 ,187

Donc , x = — — r ,

aux deux derniers

ou 12 jours environ.

Passons à un exemple encore plus compliqué.

Septième exemple. — 5 oo hommes, travaillant 12 heures j>ar jour, ont employé 5 7 jours à creuser un canal de 1800 mètres de long sur 7 mètres de large et 3 de profondeur; on demande en combien de jours 860 hommes travaillant 10 heures par jour, creuseront un autre canal de 2900 mètres de longueur 1 2 mètres • de large et 5 de profondeur, dans un terrain 3 fois plus difficile que le premier?

Voici le tabletSi des calculs, dont nous donnerons ensuite l’explication :

86 o At,,n ;

5 oo k0m

• rpioun *

g 00 ni.l»xr;

2 goo m,, “ l 't

: ar"

n m.l.itg •

tarf

x tt

: x v ou x . .

S60 x 10 x 1 800 x - x 3 x’ 1 : 5oo x 12 x

d’où X =

5 oo X 12X2900 X 12x5x3x57 860 X « o X 1 800 X 7 X 3 X 1

5 i 3oi ’

Analyse. — On distingue dans l’énoncé ci-dessus deux parties principales : la première comprend les nombres

5 oo l "" n , 12*, S’]i,i 8 oo mJ, "'f, 7 3 m -f , t d , et la seconde , 860, 10, X, 2900, 12, 5, 3 .

DE LA REGLE DE TltOIS COMPOSEE.

(Puis([iic le second terrain est trois fois plus difficile à fouillei que le premier, on peut représenter la dureté du premier terrain par 1 , et celle du second par 3 , comme on le voit ici.)

On a désigné d’ailleurs par X le nombre de jours cherché.

Cela posé, admettons d'abord que l’ouvrage à faire par les 9 deux troupes d’ouvriers soit le même, et de plus que l’une et l’autre troupe travaillent le même nombre d’heures par jour.

Comme, dans ce ras, plus il y a d’ouvriers pour faire ret ouvrage, moins i! faut de jours , on a une relation indirecte en tre les deux nombres d’ouvriers et les deux nombres de jours. Ainsi , désignant par x le nombre de jours nécessaire aux 86n ouvriers pour creuser le premier fossé , le temps de leur travail par jour étant d’ailleurs de ta heures comme pour lcs 5 oo ouvriers, on a la proportion (t) dans laquelle 860 et son correspondant x forment les deux extrêmes.

Actuellement, si ces 860 hommes, au lieu de travailler ta heures, ne travaillent que 10 heures, ils devront nécessairement employer plus de jours à faire le même ouvrage. Ainsi , ayant egard aux deux nombres d’heures de travail par jour, comme moins il y a d’heures de travail , plus il faut de jours , on a encore une relation indirecte entre les deux nombres ta*, io\ et les deux nombres de jours x , x ; ce qui donne la proportion (2) dont 10 et son correspondant x' forment les extrêmes.

On pourrait, en multipliant les deux proportions (t) et (2), l’une par l’autre, et observant que le terme x disparaîtrait comme facteur des deux derniers termes de la nouvelle proportion , on pourrait, dis-je, obtenir la valeur de x', qui exprimerait le nombre de jours nécessaires aux 860 ouvriers travaillant 10 heures par jour, pour creuser le premier fossé; mais cela est inutile, et il suffit de regarder x' comme déterminé

Faisons maintenant varier la longueur du fossé eu conservant la même largeur, la même profondeur, et la même dureté de terrain.

Or, si le fossé a plus de longueur, toutes choses égales d’ailleurs, il faut nécessairement plus «le jours pour le creuser ,

296 DEMARQUES GÉNÉRAI. ts

ainsi, il y a relation directe entre les deux nombres 18110,2900 , et .r', x" ( x" ou x seconde désignant le nombre de jouis correspondant à la longueur 2900), d’où resuite la proportion ( 3 ) dont 2900 et .r" forment un moyen et un extrême.

Répétant les memes raisonnements par rapport à la largeur et à la profondeur, on obtient les deux proportions ( 4 ) et ( 5 ), dans lesquelles x'“ et x" 1 (ou x tierce et .r rptarle ) expriment les nombres de jours qui correspondent aux variations de la largeur ci de la profondeur.

Enfin , si l’on a égard à la différence des duretés des deux terrains, il y aura évidemment relation directe ; et l’on obtiendra la proportion (6) dont le dernier terme x ï ou X exprime le nombre de jours cherché.

Multipliantalors, terme à terme, les six proportions établies successivement, et observant que tous les termes a:, x', x", x m , x' y , disparaissent comme facteurs communs dans le second antécédent et le second conséquent de la nouvelle proportion, on obtient la proportion (7) , d’où l’on déduit la valeur de X ,

qui, toute simplification faite, se réduit à 54 gl

Ainsi , le nombre de jours demandé est de 549 jours environ.

N.D. — Rappelons-nous toutefois que, lorsqu’on est parvenu 5 oo X 12 X 2900 X ux 5 x 3 x 57 860 X 10 X 1800 X 7X 3 x t faut, avant d’effectuer toutes les multiplications indiquées, avoir soin de supprimer tous les facteurs communs qui sont eu évidence au numérateur et au dénominateur.

Ici , par exemple , après avoir opéré toutes ces suppressions,

à l’expression X :

ou , en effectuant

5 X 4 X 2q X 5 X 57 on obtient A t= — — - ,

11 ,iv i 653 oo r . 5 i alors les calculs, A — — - = oui — .

3 oi ‘ 3 oi

fiel exemple, qui est un des plus compliques qu’on puisse se proposer, suffit pour mettre les commençants au fait de la marche qu’il faut suivre dans tout autre.