DE 1,A RÈGLE D'INTÉRÊT

221 . On appelle in^rc'l d’une .HOinine, le bénéfice résultant du prêt que l’on fait de cette somme, ou le prix du loyer de cette somme pendant un certain temps; la somme placée se nomme d’ailleurs le capital.

L’intérêt d’une somme dépend de la quotité de ce capital, du temps pendant lequel il est placé , et du taux d’intérêt. On appelle taux , l’intérêt ou le bénéftre que rapporte une somme déterminée pendant un temps aussi déterminé ; ordinairement, c’est le bénéfice que rapportent 1 00 francs prêtés pendant un an.

Ce taux, qui peut être considéré comme une sorte d'unité d’intérêt , est de pure convention entre le prêteur et l’emprunteur ; il dépend généralement de l’abondance ou de la rareté des capitaux. Cependant, il y a dans le commerce ou dans la banque, des limites (fixées par l’usage et par la loi) au-delà desquelles le taux ne peut monter sans être appelé usure. ( L’usurier est celui qui prête son argent beaucoup au-dessus du taux généralement admis.)

La règle d'intérêt n’est qu’un cas particulier de la règle de trois composée ; nous allons en donner des exemples.

Premier exemple. — On demande l'intèrél d’une somme de 45 oo francs, pour a ans 5 mois , à raison de 7 francs p. par an (p.~ est la manière usitée dans le commerce d’écrire pour 100).

Cet énoncé est l’expression abrégée de celui-ci :

1 00 francs rapportant 7 francs d’ intérêt par an, combien produira , à proportion , une somme de 4 5 oo^, placée ou prêtée pendant 2 ans 5 mois?

Analyse et solution. — Appliquant à cette question lesprincipes établis précédemment, nous dirons :.Les intérêts de deux capitaux placés pendant le même temps, sont directement proportionnels à ces capitaux ; ainsi, en appelant x l’intérêt du capital 45 oo^ placé pendant un an, on aura cette première proportion

too : 4500 :: 7 ; r (1)

Ofc LA RÈGLE d’intérêt. 399

Ensuite, les interets d J un même capital soûl directement proportionnels aux temps pendant lesquels il est placé ; donc, si l'on désigne par X l'intérêt de 4^00/ pour 2 ans 5 mois, ou l’intérêt demandé, on aura cette nouvelle proportion

d’où, multipliant terme à terme les proportions (i) et (2), 100 : 45 oo x s 01 " 5 mei ‘ ;; 7 : X,

el|iai conséquent, X =

Effectuant l’opération marquée par 315 x 2 “" 5 ™, d’après les règles connues, et comme ou le voit à côté, on trouve pour résultat, 761 francs ■a 5 centimes. Ainsi , Y intérêt demandé monte à 761 fr. ?,5 centimes.

rttjaf Æmoif

,.io 5

Soit, en général , un capital a placé pendant un temps exprimé par t, à raison de i p. 100 par an.

E11 raisonnant comme ci-dessus, on sera conduit aux deux

proportions

d’où l’on déduit 100

et par conséquent, -

aXI X' 1 00

ail

Cette formule X = , indique sous une forme facile à

retenir, la manière de déterminer l’intérêt d’une somme quelconque placée pendant un certain temps, et d’après un certain taux.

En langage ordinaire , elle signifie qu’il faut multiplier la somme proposée par le taux d’intérêt pour un an, puis par le temps pendant lequel la somme est placée , et diviser le résultat par ioo. C’est dans cette operation que consiste la règle d’intérêt simple.

300 DK LA RÈGLE D IXTÉKÉT.

222. On peut d’ailleurs parvenir à celte formule sans le secours des proportions, et par un moyen qu’il est bon de connaître.

Puisque 100 francs rapportent, dans l’unité de temps ou dans un an, un nombre de francs marqué par/, il est clair

qu’un seul franc doit rapporter — Î-. Donc une somme quelconque rapportera, dans un an, — Xn, ou — ; et cette • too 100

même somme, au bout de t années , devra rapporter — - (*}.

A'. B. — La fraction qui exprime l’intérêtd’un franc pour

un an, se présente, dans certains cas particuliers, sous une forme très simple.

Soit, par exemple, i — r 5 (ce qui veut dire qu’une somme

est placée à»5p. i oo par an) : il en résulte — = — ,

ioo ioo 20

d’où — = — ; d’où l’on voit que l’int’érèt d’un capital too 20 1 r

placé à 5 p. ioo par an , est égal au vingtième du capital. •

Soit encore i= io ; il en résulte -î— = — — = — . Donc

ioo ioo io

ai a , #

— — ; c est-à-dire que l'intérêt d'un capital placé à io

ioo io } n 1 1

p. ioo, est égal au dixième de ce capital.

On dit que le capital est placé , dans le premier cas, au denier 20 , et, dans le second , au denier io.

(*) Le moyen que nous venons d'indiquer pour arriver à l'expression

f, et que l’on désigne sous le nom de méthode de réduction a l’unité , est

applicable & tous les problèmes qui dépendent de la théorie ries proportion* ; et l'un de nos meilleurs auteuis , M. Reynàud, a cru devoir en faire exclusivement, usage dans son Traité d‘ ' Arithmétique* Mais si cette méthode a l’avantage d’étre plus analytique que la nôtre, elle a , suivant nous , l’inconvénient d’étrelplus prolixe dans ses détails. Toutefois , nous sommes loin de vouloir la déprécier : au contraire , nous ne saurions trop ht recommander & MM. les Prt > fesse ms , comme un excellent exercice au tableau.

HÉC-LE d’intéhét 3oi

Enfin , dire iju’iine personne a place ses fonds au denier fo, c’est supposer qu’elle retire par an, en interet, le l\o m ' de son capital ; ou, en ti’aulres termes, que le taux d’mlérêtest de ?. ~ p. 100 par an ; car ou a

a i 5 i j,. ai aXî; a

ioo 200 4 °' 100 100 4 °

Ces dénominations sont usitées dans le commerce.

223. Quelquefois, le taux d’intérêt est donné, non pour un an, mais pour i mois ou 3o jours. (J'oyez n° 221.) Dans ce cas, on prend le mois pour unité de temps ; mais la manière d’opérer est toujours la mente.

Second exemple. — On demande l'in tiré l de 5 ooo francs

/jour 3i5 jours, ou lo mois i5 jours , à raison de j p. 100 par mois ?

Faisant, dans la formule .X = -^-, a = 5ooo, t = io m 4,

■ oo

et i = 7 , on obtient

* X = : = 5oX — X 7 = -ÿ- = 3g3 ,76 .

too 24°

Ainsi, l’intérêt demandé est 3g3 francs 76 centimes.

Thoisième exemple. — Une somme de 3 j 5 o francs a rapporté 1 cj francs 25 centimes , en intérêt, ait bout de 2 ans éimois ; on demande le taux d intérêt auquel la somme a été placée? En raisonnant comme dans le premier exemple, on par-

viendra aux deux proportions < . ,, >

il’où l’on déduit 3760X2 j : 100 " 719,26 ; X.

719, 25 xioo 71925 a ...

Donc X = - ' - • = —?—=■ = 7,072 ; c est-a-dire

que le taux d’intérêt est 7^67 p. 100 par an, à 1 centime près .

K8CLÜ o’iNTÉRÉT.

Ou peut facilement vérifier ce résultat en déterminant l'intérêt du capital 3760 francs, pendant a ans 6 mois, à raison de 7 f f>7 e p. 100 par an. Toutefois il est nécessaire, pour plus d’exactitude, de prendre pour taux le nombre 7,67a tel qu’on l’a obtenu ci-dessus.

La formule X = est également propre à faire connaître

ce taux. Eli effet, elle donne évidemment 100X =a >< ix t,

Or, on a 0 = 3750, / = a ans6 mois, X = 7ig,25;

donc 1 = — - ' ~ = ■ , comme on 1 a delà trouve.

224. Considérée eu général , cette formule contient quatre quantités , a, i , /, et X , dont chacune peut être supposée inconnue, les trois autres étant données ; et il sera toujours facile d’en déduire la quantité inconnue.

On peut ainsi se proposer quatre questions essentiellement differentes dont voici, les énoncés , avec les résultats qui y sont relatifs.

i u . Déterminer F intérêt d’un capital pour un certain temps , à raison d' un certain taux d’ intérêt?

Soit X l’intérêt demandé, 011 a X =

( Les deux premiers exemples se rapportent à cette question.)

a“. Déterminer le taux d intérêt auquel une somme doit être placée pour rap/rorter , au bout d un certain tèmps , une autre somme connue ?